Question

6．观察到某一行星有颗卫星以半径R、周期T环绕此行星做圆周环绕运动，卫星的质量为m．
（1）求行星的质量；
（2）求卫星的向心加速度；
（3）若行星的半径是卫星运行轨道半径的$\frac{1}{10}$，那么该行星表面的重力加速度有多大？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力定律等于向心力公式，即可求出行星的质量；
（2）根据向心加速度公式求卫星的向心加速度
（3）行星表面处的重力加速度由万有引力提供即可．

解答 解：（1）卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）卫星的向心加速度${a}_{n}^{\;}={ω}_{\;}^{2}R=（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}R=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
（3）根据题意，行星的半径${R}_{行}^{\;}=\frac{R}{10}$
行星表面物体重力等于万有引力，有
$mg=G\frac{Mm}{（\frac{R}{10}）_{\;}^{2}}$
解得：$g=100G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{400{π}_{\;}^{2}R}{{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）求行星的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）求卫星的向心加速度$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$；
（3）若行星的半径是卫星运行轨道半径的$\frac{1}{10}$，那么该行星表面的重力加速度有多大$\frac{400{π}_{\;}^{2}R}{{T}_{\;}^{2}}$

点评 该题考查万有引力定律的一般应用，直接使用万有引力提供向心力的公式即可，它们非常简单