Question

14．某人造卫星距地面高h，地球半径为R，地面重力加速度g₀，分别用h、R、g₀表示卫星周期T、线速度v、角速度ω．

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力，求得卫星周期、线速度和角速度与轨道半径的表示式；
在地球表面重力与万有引力相等，由重力加速度和地球半径求出地球质量，再求解即可．

解答 解：设卫星的轨道半径为r，地球的质量为M．则 r=R+h
根据万有引力提供圆周运动向心力，有：
  G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r 
解得，卫星运动的周期 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，线速度 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
在地球表面，由mg₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=g₀R²；
联立解得 $T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g_0}}$，$v=\sqrt{\frac{{{g_0}{R^2}}}{R+h}}$，ω=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
答：卫星周期T、线速度v、角速度ω分别为：$T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g_0}}$，$v=\sqrt{\frac{{{g_0}{R^2}}}{R+h}}$，ω=$\sqrt{\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$．

点评 万有引力应用的两个关键：一是在星球表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，掌握并灵活运用万有引力与向心力公式是正确解题的关键．