Question

15．过山车是游乐场中常见的设施．如图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内半径R=2.0m的圆形轨道组成，B、C分别是圆形轨道的最低点和最高点．一个质量为m=1.0kg的小滑块（可视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L=11.5m．小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10．圆形轨道是光滑的，水平轨道足够长．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）滑块经过B点时的速度大小v_B；
（2）滑块经过C点时受到轨道的作用力大小F；
（3）滑块最终停留点D（图中未画出）与起点A的距离d．
（4）若初速度为5m/s，过山车将停在什么位置？

Answer 1

分析 （1）对小滑块的运动过程进行分析．从A到B，摩擦力做功，根据动能定理得求得小滑块的速度；
（2）运用动能定理求出小滑块经过圆轨道的最高点时的速度，再对小滑块在圆轨道的最高点进行受力分析，并利用牛顿第二定律求出轨道对小滑块作用力．
（3）小滑块在整个运动的过程中，摩擦力做功与小滑块动能的变化，写出方程即可求得结果．
（4）若初速度为5m/s，速度较小，物体到不了C点，在圆弧轨道上到不了与圆心等高的点，故会沿着BA返回；
对运动全程根据动能定理列式求解路程即可．

解答 解：（1）从A到B，根据动能定理得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$  ①
代入数据解得：v_B=11m/s
（2）从B到C，根据机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$+mg•2R；
小滑块在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：
mg+F=$m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入数据解得：
F=10.5N；
（3）小滑块在整个运动的过程中，摩擦力做功与小滑块动能的变化．
得：-μmgx=0-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：
x=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2μg}$=72m；
（4）若初速度为5m/s，物体在圆弧轨道上到不了与圆心等高的点，故会沿着BA返回，根据动能定理，有：
-μmg•S=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
解得：
S=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$=$\frac{{5}^{2}}{2×0.1×10}$=12.5m，
与A点距离为：x=S-L=12.5m-11.5m=1m；
答：（1）滑块经过B点时的速度大小11m/s；
（2）滑块经过C点时受到轨道的作用力大小10.5N；
（3）滑块最终停留点D与起点A的距离为72m；
（4）若初速度为5m/s，过山车将停在A点右侧1m位置．

点评 选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．
知道小滑块能通过圆形轨道的含义以及要使小滑块不能脱离轨道的含义．