Question

16．如图，在半径为R的圆通内有匀强磁场，质量为m，带电量为q的带电粒子在小孔A处以速度v向着圆心射入，问磁感应强度为多大．此粒子才能绕行一周后从原孔射出？粒子在磁场中的运动时间是多少（设相碰时电量和动能皆无损失）

Answer 1

分析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，要想由原点穿出，则一定要经多次碰撞才能实现，且总圆心角之和应为360度；根据几何关系可得出半径的表达式，再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度；由周期公式可求得时间；

解答 解：带电粒子从小孔射入后，由于洛仑兹力的作用，它将沿圆弧线运动，并将与筒壁碰撞，然后以不变的速率反弹回来．根据对称性可知，粒子与筒壁碰撞时其速度方向一定沿圆筒半径方向；粒子与筒壁碰撞次数最少是两次，也可能是3次，4次、5次¨¨n次碰撞；
无论经多少次碰撞，因粒子最终从原孔返回，故粒子在磁场中的各段轨迹弧所对应的圆心角的总和一定是360°；
若粒子经两次碰撞从A孔射出，设半径为r，则有r1=Rtan60°
若经3次碰撞后从A孔射出，则粒子轨道半径r2=Rtan45°
…
若经n次碰撞后从A射出，则有：
rn=Rtan$\frac{180°}{n+1}$（n=2，3，4…）
因为粒子只受洛兹力作用而做圆周运动，
则有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{n}}$
解得B=$\frac{mv}{qRtan（\frac{180°}{n+1}）}$（n=2，3，4…）
运行时间一定是一个周期，故T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2πRtan（\frac{180°}{n+1}）}{v}$；
答：磁感应强度为：$\frac{mv}{qRtan（\frac{180°}{n+1}）}$（n=2，3，4…）；经过的时间为$\frac{2πRtan（\frac{180°}{n+1}）}{v}$（n=2，3，4…）；

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，要注意正确理解题意，明确粒子半径的表达式，则可由牛顿第二定律求得磁感应强度．