Question

19．如图所示，左侧竖直墙面上固定不计为R=0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆．质量为m_a=100g的小球a套在半圆环上，质量为m_b=36g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l=0.4m的轻杆通过两铰链连接．现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；
（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功．

Answer 1

分析 （1）不计一切摩擦，a沿圆环自由下滑的过程中，a、b及杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球a滑到与圆心O等高的P点时的速度，再由向心力公式求解．
（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，根据杆不可伸长和缩短，两球沿杆的速度相等列式，得到两球速度关系式，再结合机械能守恒定律求出b球此时的速度，即可由动能定理求得杆对b球做的功．

解答 解：（1）当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切向向下，b的速度为零，
由机械能守恒定律可得：m_agR=$\frac{1}{2}$m_av²；
解得：v=$\sqrt{2gR}$
对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F=$\frac{{m}_{a}{v}^{2}}{R}$=2m_ag=2N
（2）杆与圆相切时，如图所示，a的速度沿杆方向，设此时b的速度为v_b，根据杆不可伸长和缩短，有：v_a=v_bcosθ

由几何关系可得：cosθ=$\frac{L}{\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}}$=0.8
在图中，球a下降的高度 h=Rcosθ
a、b系统机械能守恒，则有：m_agh=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{b}^{2}$-$\frac{1}{2}$m_av²；
对滑块b，由动能定理得：W=$\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{b}^{2}$=0.1944J
答：
（1）小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小是2N；
（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功是0.1944J．

点评 本题考查了机械能守恒和动能定理的综合运用，关键要知道a、b组成的系统机械能守恒，抓住a、b沿杆方向的分速度相等进行求解．