Question

12．如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球A和质量为$\frac{1}{3}$m的小球B通过轻弹簧连接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m的小球C以初速度v₀沿AB连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞．在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板（图中未画出），当弹簧恢复原长时，小球B与挡板发生正碰并立刻将挡板撤走．不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向相反．在小球A向右运动过程中，求：
（1）小球B与挡板碰撞前，弹簧弹性势能最大值；
（2）小球B与挡板碰撞时，小球A、B速度分别多大？
（3）小球B与挡板碰撞后弹簧弹性势能最大值．

Answer 1

分析 （1）C、A碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰撞后A的速度，A、B系统动量守恒，A、B速度相等时弹簧弹性势能最大，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出最大弹性势能．
（2）A、B系统动量守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出小球的速度．
（3）A、B系统动量守恒，由动量守恒定律与能量守恒定律可以求出最大弹性势能．

解答 解：（1）C、A发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv_C+mv_A，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得：v_C=0，v_A=v₀，
因C与A发生了弹性碰撞，碰后C停下，A以V₀向用运动，当V_a=V_B 时，E_P最大，
以向右为正方向，对A、B系统，由动量守恒定律得：
$m{v_0}=（m+\frac{1}{3}m）{v_1}$，
解得：${v_1}=\frac{3}{4}{v_0}$，
由能量守恒定律的，最大弹性势能为：
E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{3}$m）v₁²，
解得：E_P=$\frac{1}{8}$mv₀²；
（2）A、B系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv_A=mv_A′+$\frac{1}{3}$mv_B，
由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_A′²+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$mv_B²，
解得：v_A′=$\frac{{v}_{0}}{2}$，v_B=$\frac{3{v}_{0}}{2}$；
（3）B与板碰撞后，A、B两球受力相等时弹簧弹性势能最大，以向左为正方向，由动量守恒定律得：
mv_A′-$\frac{1}{3}$mv_B=（m+$\frac{1}{3}$m）v，
解得：v=0，
弹簧的最大弹性势能：E_P′=$\frac{1}{2}$mv_A′²+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$mv_B²，
解得：E_P′=$\frac{1}{2}$mv₀²；
答：（1）小球B与挡板碰撞前，弹簧弹性势能最大值为$\frac{1}{8}$mv₀²；
（2）小球B与挡板碰撞时，小球A、B速度分别为：$\frac{{v}_{0}}{2}$、$\frac{3{v}_{0}}{2}$；
（3）小球B与挡板碰撞后弹簧弹性势能最大值为$\frac{1}{2}$mv₀²．

点评 本题考查了求弹性势能、速度问题，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律、机械能守恒定律与能量守恒定律即可正确解题．