Question

16．如图所示，长L=0.4m的水平轨道BC左端与固定的光滑竖直圆轨道相切于B点，圆弧轨道的半径R=0.45m，BC右端与一倾角θ=30°的光滑固定斜面在C点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧．一质量m=2kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次将弹簧压缩至D点时滑块速度减为0，此时弹簧具有的弹性势能E_P=1.4J，已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，滑块可视为质点，重力加速度g=10m/s² ．求：
（1）滑块第一次经过圆轨道B点时对轨道的压力大小；
（2）光滑斜面轨道上CD的长度；
（3）滑块在BC上停止运动时距C点的距离．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求得滑块在B点的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）对滑块从A到D应用动能定理即可求得CD的长度；
（3）对运动过程应用动能定理求得摩擦力作用下的路程，即可根据几何关系求得距离．

解答 解：（1）滑块从A点到B点的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，所以有，$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
那么，对滑块在B点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=2mg$，所以，F_N=3mg=60N；
那么由牛顿第三定律可得，滑块对B点的压力：F′=F_N=60N；
（2）滑块从A点到D点，该过程弹簧弹力对滑块做的功为W=-E_p=-1.4J
那么，由动能定理可得：mgR-μmgL-mgL_CDsin30°+W=0；
所以，${L}_{CD}=\frac{mgR-μmgL+W}{mgsin30°}=0.6m$；
（3）滑块在BC上停止运动，那么滑块运动过程只有重力和摩擦力做功，设滑块在摩擦力作用下运动的位移为s，那么有mgR=μmgs，所以，$s=\frac{R}{μ}=2.25m$
摩擦力只存在BC上，又有s=5L+0.25m，所以，滑块停止时距离C点0.25m．
答：（1）滑块第一次经过圆轨道B点时对轨道的压力大小为60N；
（2）光滑斜面轨道上CD的长度为0.6m；
（3）滑块在BC上停止运动时距C点的距离为0.25m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．