Question

11．如图所示，倾角30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为m=1kg的物块B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M=8kg的物块A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R=2m的$\frac{1}{6}$的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与粗糙水平轨道bc相切，bc与一个半径r=0.2m的光滑圆轨道平滑连接．由静止释放A，当A滑至b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂．已知A与bc间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度取g=10m/s²，弹簧的形变始终在弹性限度内，细绳不可伸长．
（1）求弹簧的劲度系数；
（2）求物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小；
（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据A在a处和b处，ABC的受力和位置关系求得两次弹簧形变量的关系和弹簧弹力，进而由胡克定律求得劲度系数；
（2）根据能量守恒求得A在b处的速度，然后应用牛顿第二定律求得A受到的支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（3）根据物块A能进入圆轨道且不脱轨得到A可能到达的位置及速度，然后由机械能守恒得到A在c处的动能，即可根据动能定理求得bc距离．

解答 解：（1）A在a处时，绳子拉直无张力，弹簧压缩，设压缩量为x₁，弹簧弹力为${F}_{1}=k{x}_{1}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg$；
A在b处时，弹簧伸长，设伸长量为x₂，那么，x₁+x₂=R=2m；又有当A滑至b时，C恰好离开挡板P，所以，弹簧弹力F₂=kx₂=mgsin30°=$\frac{1}{2}mg$；
所以，F₁+F₂=k（x₁+x₂）=2k（N），所以，$k=\frac{1}{2}mg（N/m）=5N/m$；
（2）A从a到b过程由，ABC及弹簧系统只有重力、弹簧弹力做功，且A在a处和b处，弹簧的形变量相同，故弹性势能不变，弹簧弹力做功为零；那么，ABC及弹簧系统机械能守恒；
设A在b处的速度为v_b，那么，B的速度为A的速度在沿绳子方向的分速度，故B的速度${v}_{B}={v}_{b}cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{b}$，则由动能定理可得：$Mg（R-Rcos60°）-mg（{x}_{1}+{x}_{2}）sin30°=\frac{1}{2}M{{v}_{b}}^{2}$$+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，v_b=4m/s；
对物块A滑至b处，绳子断后瞬间应用牛顿第二定律，则有${F}_{N}-Mg=\frac{M{{v}_{b}}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=Mg+\frac{M{{v}_{b}}^{2}}{R}=144N$；
故由牛顿第三定律可知：物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小为144N；
（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，那么，物块A在圆轨道上可能达到的最高点h≤r或者h=2r；
那么，当h=2r时，对物体A在最高点应用牛顿第二定律有$\frac{Mv{′}^{2}}{r}≥Mg$；
A在圆轨道上运动，机械能守恒，所以，A在c处的动能${E}_{kc1}=\frac{1}{2}Mv{′}^{2}+2Mgr≥\frac{5}{2}Mgr=40J$；
当h≤r时，由机械能守恒可得A在c处的动能E_kc2=Mgh，所以，A在c处的动能为E_kc1≥40J或0≤E_kc2≤16J；
又有A在b处的动能${E}_{kb}=\frac{1}{2}M{{v}_{b}}^{2}=64J$；
A从b到c运动过程，只有摩擦力做功，且摩擦力f=μMg=8N；故由动能定理可得：-fL_bc=E_kc-E_kb；
所以，0≤L_ab≤3m或6m≤L_bc≤8m；
答：（1）弹簧的劲度系数为5N/m；
（2）物块A滑至b处，绳子断后瞬间，A对圆轨道的压力大小为144N；
（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，则bc间的距离为0≤L_ab≤3m或6m≤L_bc≤8m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．