Question

18．设“嫦娥二号”卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知月球半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g；
（3）月球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥二号”绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，由此求月球的质量M．
（2）在月球表面，物体所受的万有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度g．
（3）已知月球的质量和半径，由密度表达式可得月球密度．

解答 解：（1）万有引力提供“嫦娥二号”做匀速圆周运动的向心力，则有
   G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）由月球表面，万有引力等于重力，可得：
  G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
解得月球表面的重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
（3）月球的体积为：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
故月球的密度为：ρ=$\frac{M}{V}$
得 ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{T}^{2}}$．
答：
（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（3）月球的密度为$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{T}^{2}}$．

点评 本题关键是利用好万有引力提供向心力这一思路，要熟练掌握星体表面万有引力等于重力这个结论，可变换为黄金代换，用途比较大．