Question

12．如图所示，两平行长金属板水平放置，相距为d，两极板接在电压可调的电源上．两金属板间有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场；金属板右侧有一宽度为d、磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里的足够长匀强磁场，且磁场边界与水平方向的夹角为60°．金属板中间有一粒子发射源，能沿水平方向发射出电性不同的两种带电粒子，调节可变电源的电压，当电源电压为U时，粒子恰好能沿直线飞出金属板，粒子离开金属板进入有界磁场后分成两束，经磁场偏转后恰好同时从两边界离开磁场，且从磁场右边界离开的粒子的速度方向恰好与磁场边界垂直，粒子间的相互作用不计，粒子重力不计．求：
（1）带电粒子从发射源发出时的速度大小；
（2）带负电粒子的比荷；
（3）粒子在右侧磁场中的运动时间及带正电粒子的比荷．

Answer 1

分析 （1）根据题意带电粒子在平行金属板内做直线运动时，所受的电场力与洛伦兹力相等，由平衡条件即可求解．
（2）画出正负粒子在磁场中运动的轨迹，根据几何关系求出半径和圆心角，洛伦兹力提供向心力，求出带负电的粒子的比荷．
（3）根据题意正负粒子在磁场中运动的时间相等，求出正粒子圆心角，求出时间表达式，即可得到正粒子的比荷．

解答 解：（1）当电源电压为U时，带电粒子在金属板间做匀速直线运动
由平衡条件有：$\frac{qU}{d}$=qvB，
解得v=$\frac{U}{Bd}$．
（2）根据左手定则，带正电粒子进入磁场后沿逆时针方向运动，带负电粒子进入磁场后沿顺时针方向运动，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，

带负电粒子垂直磁场右边界离开磁场，速度偏转角θ₁=30°=$\frac{π}{6}$，
在磁场中做圆周运动的轨迹半径r₁=$\frac{d}{sin30°}$=2d，
由洛伦兹力提供向心力有q₁vB=$\frac{{m}_{1}{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
联立解得$\frac{{q}_{1}}{{m}_{1}}$=$\frac{U}{2{B}^{2}{d}^{2}}$．
（3）带正电粒子从磁场左边界离开磁场，由几何关系可知，带正电粒子通过磁场的速度偏转角θ₂=120°=$\frac{2π}{3}$，
粒子在右侧磁场中的运动时间为t=$\frac{{θ}_{1}{r}_{1}}{v}=\frac{{θ}_{2}{r}_{2}}{v}$，
可得t=$\frac{πB{d}^{2}}{3U}$．
带正电粒子在磁场中的轨迹半径r₂=$\frac{d}{2}$，
由洛伦兹力提供向心力有q₂vB=${m}_{2}\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得$\frac{{q}_{2}}{{m}_{2}}$=$\frac{2U}{{B}^{2}{d}^{2}}$．
答：（1）带电粒子从发射源发出时的速度大小为$\frac{U}{Bd}$；
（2）带负电粒子的比荷为$\frac{U}{2{B}^{2}{d}^{2}}$；
（3）粒子在右侧磁场中的运动时间及带正电粒子的比荷为$\frac{2U}{{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．