Question

4．如图所示，左端封闭，右端开口的粗细均匀的U形管竖直放置，左端用水银封闭着长L=15cm的理想气体，当初始温度为57℃时两端液面相平．设外界大气压为75cmHg．
（i）若让封闭气体缓慢降温，当左管液面高出右管△h=2cm时，气体温度为多少摄氏度？
（ii）若温度保持57℃不变，要想使两管液面高度差为△h=2cm，需从右管取走或注入水银柱长度H多少？

Answer 1

分析 （1）分别求出封闭气体初态和末态的压强，由气态方程求解封闭气体温度．
（2）保持57°C不变，为了使左、右两管中的水银面高度差为△h=2cm，需从右管的开口端再缓慢注入（取走）的水银，封闭气体发生等温变化，水银面相平时，封闭气体的压强等于大气压，由玻意耳定律和几何关系求出水银柱高度H．

解答 解：（1）气体的初状态：P₁=P₀=75cmHg，V₁=LS=15Scm³，T₁=273+57=330K
当左管液面高出右管△h=2cm时，说明左侧管中的水银面上升1cm，右侧管中的水银面向下下降1cm，此时气体的状态：
P₂=P₀-△h=75-2=73cmHg；V₂=（L-1）S=14Scm³，T₂=？？
由理想气体的状态方程得：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
代入数据整理得：T₂≈300K=27℃
（2）Ⅰ：若从右侧管中取走水银，则右侧的水银面降低，则左侧的水银面高，左侧管中的压强：
P₃=P₀-△h=75-2=73cmHg，
设左侧气体的长度为L₃，气体做等温变化，则：
P₁V₁=P₃L₃S
将相关的数据代入公式得：L₃=15.41cm
所以需要取走的水银柱的长度：△L₁=△h+2×（L₃-L）=2+（15.41-15）×2=2.82cm
Ⅱ：若在右侧管中注入水银，则右侧的水银面升高，则右侧的水银面高，左侧管中的压强：
P₄=P₀+△h=75+2=77cmHg
设此时左侧气体的长度为L₄，气体做等温变化，则：
P₁V₁=P₄L₄S
代入数据整理得：L₄=14.61cm
所以需要注入的水银柱的长度：△L₂=2+2（L-L₄）=2+2×（15-15.61）=2.78cm
答：（i）若让封闭气体缓慢降温，当左管液面高出右管△h=2cm时，气体温度为27摄氏度；
（ii）若温度保持57℃不变，要想使两管液面高度差为△h=2cm，需从右管取走2.82cm，注入水银柱长度2.78cm．

点评 本题考查能用静力学观点确解决各处压强的关系．同时注意研究过程中哪些量不变，哪些量变化，选择合适的气体实验定律解决问题；另外，要注意当两管液面高度差为△h=2cm时，向右侧注入水银与从右侧取走水银时，气体的压强与体积均不同，需要分别计算，不能由遗漏．