Question

7．劲度系数为k的轻弹簧竖直悬挂，在其下端挂一质量为m的砝码，然后从弹簧原长处自静止释放砝码，不计摩擦阻力．则（　　）

• A． 砝码的运动不是简谐振动
• B． 砝码最大加速度为2g
• C． 砝码偏离平衡位置的最大位移为$\frac{2mg}{k}$
• D． 弹簧最大弹性势能为$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

Answer 1

分析 由静止释放砝码后，砝码将做简谐振动．当砝码受到向上的弹簧弹力大小等于重力时，速度达到最大，根据系统的机械能守恒求解砝码的最大速度．当砝码下落到速度为零时，弹簧伸长最大，弹性势能最大，根据机械能守恒求解．

解答 解：A、设砝码的最大速度为v_m．砝码的最大速度时，弹簧弹力大小等于砝码的重力，则得：mg=kx₀，得弹簧伸长的长度 x₀=$\frac{mg}{k}$．此位置为平衡位置．
在平衡位置以上△x时，弹簧的弹力为：F=k（x₀-△x），
砝码受到的合力：F_合=mg-F=mg-k（x₀-△x）=k△x；
同理可以得出砝码在平衡位置以下△x时，仍然满足：F_合=k△x
即砝码受到与离开平衡位置的位移成正比的合外力的作用，且该合力始终最小平衡位置，所以由静止释放砝码后，砝码在重力和弹簧的弹力作用下将做简谐振动．故A错误；
B、当砝码下落到速度为零时，弹簧伸长最大，弹性势能最大，根据对称性可知，此时弹簧伸长量为：
x′=2x₀=2$\frac{mg}{k}$，
根据牛顿第二定律得：a=$\frac{{F}_{弹}-G}{m}$=$\frac{kx′-mg}{m}$=$\frac{2mg-mg}{m}$=g，所以弹性势能最大时小球加速度大小为g，故B错误．
C、此时弹簧伸长量为：x′=2$\frac{mg}{k}$，所以砝码偏离平衡位置的最大位移为：x′-x₀=$\frac{mg}{k}$．故C错误；
D、当砝码下落到速度为零时，弹簧伸长最大，弹性势能最大，砝码从静止开始下落到速度为零时，根据动能定理研究得：mg•2$\frac{mg}{k}$+W_弹=0-0=0
解得：W_弹=-$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
弹簧弹力做功量度弹性势能的变化，所以最大的弹性势能为$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$，故D正确．
故选：D．

点评 本题要抓住简谐运动的特点和对称性，分析能量如何转化，运用机械能守恒和牛顿第二定律进行分析．