Question

19．在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3m的小正三棱柱abc俯视如图．长度为L=1m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m=0.5kg、不计大小的小球．初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v₀=2m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于光滑棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上（不计细线与三棱柱碰撞过程中的能量损失，即速率不变）．已知细线所能承受的最大张力为7N，绳断后小球从桌面滑落，小球在落地时速度与竖直方向夹角为45°（g=10m/s²）求：
（1）桌面高度h．
（2）绳子断裂前，小球运动位移．
（3）小球从开始运动到绳断的总时间（结果可用π表示）．

Answer 1

分析 1、绳断后小球从桌面滑落，做平抛运动，小球在落地时速度与竖直方向夹角为45°，根据平抛运动的规律得出桌面高度
2，3、细线断裂之前，绳子拉力与速度垂直，小球的速度大小不变．绳子刚断裂时，拉力大小为7N，由F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$求出此时的半径．小球每转120°半径减小0.3m，确定出小球转动的圈数，求出时间．根据初位置、末位置的直线距离求解位移大小．

解答 解：（1）绳断后小球从桌面滑落，做平抛运动，小球在落地时速度与竖直方向夹角为45°，
小球初速度v₀=2m/s，所以v_y=$\sqrt{2gh}$=2m/s，
所以h=0.2m
（2）当小球从初始位置移动到ab延长线方向时，
细线张力F₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L-0.3}$=$\frac{20}{7}$N
当小球从ab延长线方向移动到bc延长线方向时，细线张力F₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L-0.6}$=5N
当小球从bc延长线方向移动到ca延长线方向时，细线张力F₃=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L-0.9}$=20N
故小球运动至ca方向时绳子断裂．
小球位移x=1m-0.1m=0.9m
（3）当小球从初始位置移动到ab延长线方向过程中，时间 t₁=$\frac{1}{3}$×$\frac{2π×1}{2}$=$\frac{π}{3}$s
当小球从ab延长线方向移动到bc延长线方向过程中，时间t₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{2π×0.7}{2}$=$\frac{0.7π}{3}$s---（1分）
当小球从bc延长线方向移动到ca延长线方向过程中，时间t₃=$\frac{0.4π}{3}$s
则小球从开始运动到绳断的总时间t=t1+t2+t3=0.7π s．
答：（1）桌面高度是0.2m．
（2）绳子断裂前，小球运动位移是0.9m．
（3）小球从开始运动到绳断的总时间是0.7π s

点评 本题是物理数列类型，通过分析，抓住小球每转120°半径减小0.3m，确定出小球转动的圈数是关键．