Question

9．两个质量为M、半径为R的相同圆球A和B，用两根长为l（l=2R）的绳悬挂于O点，在两球上另有一个质量为m（m=nM）、半径为r（r=$\frac{1}{2}$R）的圆球C，如图所示，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角θ与n的关系．附几个平方根值如下：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{8}$=1.73，$\sqrt{5}$=2.24，$\sqrt{6}$=2.45，$\sqrt{7}$=2.65，$\sqrt{10}$=3.16．

Answer 1

分析 先对上面球分析，根据平衡条件列式，再对下面球受力分析，根据平衡条件列式，再结合几何关系，最后联立求解即可

解答 解：对小球C受力分析，受重力和两个支持力，如图所示
根据平衡条件，有：2Ncosβ=mg①
再对A球进行受力分析，如图
水平方向：Tsinθ-Nsinβ=0②
竖直方向：Tcosθ-Ncosβ-Mg=0③
且m=nM④
根据几何关系有：$\frac{R+l}{sin（π-β）}=\frac{R+r}{sinθ}$⑤
$r=\frac{R}{2}$⑥
l=2R⑦
联立①～③得：（n+2）tanθ=ntanβ⑧
⑤⑥⑦sinβ=2sinθ⑨
联立⑧⑨两式得：$sinθ=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4n+4-3{n}_{\;}^{2}}{n+1}}$
答：绳与竖直方向的夹角与n的关系为$sinθ=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4n+4-3{n}_{\;}^{2}}{n+1}}$

点评 本题是力平衡问题，关键是灵活选择研究对象，根据共点力平衡条件列式求解，求解过程对数学要求很高，难度很大．