Question

16．如图所示，在水平光滑桌面上有一光滑小孔O，一条倔强系数为k的轻而细的弹性绳穿过小孔O，绳的另一端固定于位于小孔O的正下方A点，另一端系一质量为m的质点．弹性绳自然长度等于0A，现将质点沿桌面拉至B处（设OB=1），并将质点沿垂直于OB方向给一水平速度v₀．试求：

（1）质点绕O点转过90°至C点所需的时间；
（2）质点到达C点时的速度及C点至O点的距离．

Answer 1

分析 （1）作图分析可知小球在x、y方向均做简谐运动，平衡位置均为O，质点绕O点转过90°至C点即为$\frac{T}{4}$的时间；
（2）根据v=ωr求质点到达C点时的速度，结合机械能守恒定律求距离．

解答 解：根据胡克定律，当小球沿桌面运动到任意位置D时，弹性绳对小球的作用力为F=kOD，如下图所示，其中沿x、y方向的分力大小分别为：

F_x=F•cosa=kOD•cosa=kx
F_y=F•sina=kOD•sina=ky
由此可知小球在x、y方向均做简谐运动，平衡位置均为O，周期均为T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
（1）小球从B到C，质点在x方向的简谐运动经历$\frac{T}{4}$，所以T_x=$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{m}{k}}$
（2）因为小球到C点时，在y方向上的速度为零，所以小球在C点时的速度就是它在x方向上做简谐运动的最大速度．
v_C=v_max=ωl=$\sqrt{\frac{k}{m}}$•l
根据机械能守恒定律，（设OC=y）E_B=E_C
$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$kl²=$\frac{1}{2}$mv_c²+$\frac{1}{2}$ky²
即：$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$kl²=$\frac{1}{2}$m$\frac{{l}^{2}k}{m}$+$\frac{1}{2}$ky²
解得：y=v₀$\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：（1）质点绕O点转过90°至C点所需的时间为$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（2）质点到达C点时的速度为l$\sqrt{\frac{k}{m}}$，C点至O点的距离是v₀$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

点评 解答此题的关键是要能判断出小球在x、y方向均做简谐运动，然后根据周期公式求时间和机械能守恒定律求距离就方便了．