Question

7．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

Answer 1

分析 （1）分析小球的受力情况，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式，求解绳的张力．
（2）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω₀．

解答 解：小球受到重力mg、绳的拉力T和锥面的支持力N，如图所示．根据牛顿第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω²Lsinθ…①
Tcosθ+Nsinθ=mg…②
联立解得：T=mgcosθ+mω²Lsin²θ；
小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，设此时角速度为ω₀，由①②两式得：
mgtanθ=mω₀²Lsinθ：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：③
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
即要小球离开锥面，则小球的角速度至少为$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．
答：当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，绳的张力是mgcosθ+mω²Lsin²θ；若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$．

点评 本题的关键点在于分析小球向心力的来源，抓住小球刚离开圆锥体表面时支持力为零，直接应用向心力公式求解．