Question

5．如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，则下列说法正确的是（　　）

• A． 两板间电压的最大值U_m=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$
• B． CD板上可能被粒子打中区域的长度s=$\frac{2}{3}$L
• C． 粒子在磁场中运动的最长时间t_m=$\frac{πm}{qB}$
• D． 能打到N板上的粒子的最大动能为$\frac{{{q^2}{B^2}{L^2}}}{18m}$

Answer 1

分析 当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，根据洛伦兹力提供向心力结合几何关系，再利用动能定理即可求出加速场的电压的最大值U_m；找出粒子打中CD的两端的临界情况，利用几何关系，即可求出CD板上可能被粒子打中区域的长度s；利用粒子在磁场中运动的周期公式，结合粒子转过的圆心角，即可求出粒子在磁场中运动的最长时间t_m；找出粒子能打到N上半径最大的情况，即：粒子轨迹恰好与CD相切，利用动能表达式以及几何关系，再结合磁场中洛伦兹力提供向心力，即可求出能打到N板上的粒子的最大动能．

解答 解：画出粒子运动轨迹的示意图，如图所示，

A、当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，可知粒子半径r=L，
加速场根据动能定理：qU_m=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
联立可得：U_m=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$，故A正确；
B、设粒子轨迹与CD相切于H点，此时粒子半径为r′，粒子轨迹垂直打在CD边上的G点，
则GH间距离即为粒子打中区域的长度s，根据几何关系：QC=L=r′+$\frac{r′}{sinθ}$：
可得：r′=$\frac{L}{3}$，
根据几何关系可得粒子打中区域的长度：s=r-$\frac{r′}{tanθ}$=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）L，故B错误；
C、粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁场中运动的最大圆心角：θ=180°，
所以粒子在磁场中运动的最长时间为：t=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$，故C正确；
D、当粒子在磁场的轨迹与CD边相切时，即粒子半径r′=$\frac{L}{3}$时，打到N板上的粒子的动能最大，
最大动能：E_km=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，
联立可得能打到N板上的粒子的最大动能为：E_km=$\frac{{{q^2}{B^2}{L^2}}}{18m}$，故D正确．
故选：ACD．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，分好过程，针对每个过程的受力特点和运动形式选择合适的规律解决问题，对数学几何能力有一定的要求，整体难度不大．