Question

11．如图为一种由光滑细圆管弯成的全自动小球消毒装置的原理示意图，其中AB部分为水平传输轨道，下方为半径为R的圆形消毒轨道（R远大于细管内径），里面充满了消毒气体（仅局限在下方圆轨道中，且整个轨道气体浓度相同），改变消毒气体浓度，可以改变消毒气体对小球的粘滞阻力f，f的大小范围为：f₀≤f≤2f₀，一质量为m，初速度为v₀的待消毒小球从A点水平进入该装置，消毒完成后由B点水平抛出后落在收集装置中（不计空气阻力），收集装置的上边缘MN与圆形轨道最低点C等高，则该装置正常工作时：
（1）在最低点C，轨道对小球的支持力最大为多少？
（2）BM之间的水平距离x最小为多少？
（3）若初速度可以改变，则初速度满足什么条件，一定可以完成消毒工作．（收集装置的位置可以自动调节）

Answer 1

分析 （1）由动能定理求的到达C点的最大速度，由牛顿第二定律即可求得最大值；
（2）当阻力最大时，由动能定理求的平抛是的最小速度，即可求得最小水平距离；
（3）能完成消毒工作，意味着小球能到达B，从A到B由动能定理即可

解答 解：（1）小球在最C点：${F}_{m}-mg=\frac{{mv}_{C}^{2}}{R}$…①
从A到C动能定理：$\frac{1}{2}{mv}_{c}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=2mgR-{f}_{0}πR$…②
联立求得：${F}_{m}=5mg-2π{f}_{0}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…③
（2）水平方向：x=v_Bt…④
竖直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑤
从A到B动能定理：$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=-2{f}_{0}•2πR$…⑥
联立求得：$x=2\sqrt{\frac{m{Rv}_{0}^{2}-8π{f}_{0}{R}^{2}}{mg}}$…⑦
（3）能完成消毒工作，意味着小球能到达B，此刻速度最小为零，则根据⑥式可得：
${v}_{0m}=2\sqrt{\frac{2{f}_{0}πR}{m}}$   
即：${v}_{0}≥2\sqrt{\frac{2{f}_{0}πR}{m}}$
答：（1）在最低点C，轨道对小球的支持力最大为$5mg-2π{f}_{0}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）BM之间的水平距离x最小为$2\sqrt{\frac{m{Rv}_{0}^{2}-8π{f}_{0}{R}^{2}}{mg}}$
（3）若初速度可以改变，则初速度满足${v}_{0}≥2\sqrt{\frac{2{f}_{0}πR}{m}}$一定可以完成消毒工作

点评 本题主要考考查了动能定理，抓住过程的选取即可