Question

1．在某星球表面高度为H的岩石上以初速度v₀水平抛出一个物体，（如果仅考虑物体受该星球的引力作用，忽略其它力的影响）通过测量得到物体落到星球表面的速度大小为v=3v₀，已知该星球的直径为D，若发射一颗在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动的卫星，求这颗卫星的运动速度．

Answer 1

分析 已知平抛运动的初速度、高度和末速度，根据平抛运动的规律计算星球表面的重力加速度，根据万有引力提供向心力和星球表面的物体受到的重力等万有引力计算这颗卫星的运行速度．

解答 解：物体做平抛运动
竖直方向做自由落体${{v}_{y}}^{2}=2gH$
解得：${v_y}=\sqrt{2gH}$
物体落到地面上的速度大小 $v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
代入数据化简$（3{v}_{0}）^{2}={{v}_{0}}^{2}+2gH$
解得星球表面附近的重力加速度$g=\frac{4v_0^2}{H}$
对星球表面附近的卫星，由牛顿第二定律有：$G\frac{Mm}{{（\frac{D}{2}）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{\frac{D}{2}}$
对星球表面附近的物体由牛顿第二定律有：$G\frac{Mm}{{（\frac{D}{2}）}^{2}}=mg$
解得$v=\sqrt{\frac{gD}{2}}={v_0}\sqrt{\frac{2D}{H}}$
答：这颗卫星的运动速度为${v}_{0}\sqrt{\frac{2D}{H}}$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和星球表面的物体受到的重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据平抛运动的规律计算星球表面重力加速度．