题目内容

14．如图所示，两平行金属导轨间距为d，一端跨接一最大阻止为4r的滑动变阻器，一有界的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于轨道所在平面，一根电阻为r的直金属棒AB与轨道成60°放置，现将金属棒以平行于导轨的恒定速度v1沿金属轨道上滑行，当开关K打开时，发现两金属导轨中间且处于磁场外，有一个质量为m、带+q的微粒正好处于静止状态，重力加速度为g．
（1）求金属棒运动的速度v1的大小与方向．
（2）若把开关K闭合并调节滑动变阻器，当它的有效电阻为3r时，给此粒子一水平向右的速度v0，则该粒子达到金属导轨时速度v2的大小与方向？
（3）若把金属棒的速度调整为原来的$\frac{3}{2}$倍，开关K闭合并把滑动变阻器的滑片滑到中间位置；在磁场中的C点（图中未画出）可向各个方向发射质量为m、带电量为+q、速度为v0的许多微粒，C点距下金属导轨间距为$\frac{1}{2}$d，则要使有粒子能打到下金属导轨上，则v0满足的条件及打到下金属导轨的最短时间为多少．

分析 （1）由微粒受力分析，得电场强度，结合$E=\frac{U}{d}$，求得电压，再由电磁感应定律求得速度，结合右手定则判定运动方向．
（2）闭合k后，根据闭合电路的欧姆定律，求得导轨之间的电场强度，由牛顿第二定律确定粒子受力情况，分析运动形式，结合规律求解，
（3）由电磁感应定律求得电动势，由$E=\frac{U}{d}$得电场强度，再对粒子受力分析，确定粒子的运动形式，结合相应规律求解．

解答 解：（1）对微粒受力分析，得：mg=Eq，解得：$E=\frac{mg}{q}$，电场方向向上，
根据电势差和电场强度之间的关系，$E=\frac{U}{d}$，得：$U=\frac{mgd}{q}$，
由电磁感应定律得：U=BLv1sin60°=$\frac{mgd}{q}$，解得：v1=$\frac{mg}{Bq}$
电场方向向上，金属导轨上轨带负电，由右手定则得：金属棒AB向左运动．
（2）由电磁感应定律得：U=BLv1sin60°=Bdv1，
若把开关K闭合并调节滑动变阻器，当它的有效电阻为3r时，
根据闭合电路的欧姆定律，得两轨之间的电压：${U}_{2}=\frac{U}{3r+r}×3r=\frac{3}{4}U$，
根据电势差和电场强度之间的关系，$E=\frac{{U}_{2}}{d}$=$\frac{3U}{4d}$，则此时电场力：F电=$Eq=\frac{3Uq}{4d}$，而重力：$mg=\frac{Uq}{d}$，
根据牛顿第二定律：F合=mg-F电=$\frac{Uq}{4d}$=ma，解得：a=$\frac{Uq}{4md}$，方向向下，故粒子做类平抛运动，
水平方向做匀速运动，vx=v0，竖直方向做匀加速运动，由：${v}_{y}^{2}=2ad$，即：${v}_{y}^{2}=2a\frac{d}{2}$=$\frac{Uq}{4m}=\frac{gd}{4}$，
到达下轨道时的速度：${v}_{合}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{Uq}{4m}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{gd}{4}}$，与水平方向夹角：$tgθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{gd}}{2{v}_{0}}$
（3）若把金属棒的速度调整为原来的$\frac{3}{2}$倍，由电磁感应定律得：U=BL$\frac{3}{2}$v1sin60°=$\frac{3}{2}$Bdv1，
根据闭合电路的欧姆定律，得两轨之间的电压：${U}_{3}=\frac{U}{2r+r}×2r$=Bdv1，
根据电势差和电场强度之间的关系，$E=\frac{{U}_{3}}{d}=B{v}_{1}$，则此时电场力：F电=Eq=Bdv1，由（1）中知：mg=Bdv1，即粒子所受重力和电场力相等，合外力F合=Bqv0，做匀速圆周运动，如图：，
根据：$r=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，由几何关系；2r=d，解得：r=$\frac{d}{2}$，即：$\frac{d}{2}=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$，解得：${v}_{0}=\frac{Bqd}{2m}$，
由题意可知，当粒子打在下极板上的A点在C点正下方时，运动时间最短，由几何关系，OA=AC=OC=$\frac{d}{2}$，解得：θ=∠AOC=60°，而周期：$T=\frac{2πm}{Bq}$，最短时间：$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{πm}{3Bq}$．
答：（1）求金属棒运动的速度v1的大小为$\frac{mg}{Bq}$，方向金属棒AB向左运动．
（2）该粒子达到金属导轨时速度v2的大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{gd}{4}}$，与水平方向夹角：tgθ=$\frac{\sqrt{gd}}{2{v}_{0}}$
（3）要使有粒子能打到下金属导轨上，则v0≥$\frac{Bqd}{2m}$，打到下金属导轨的最短时间为$\frac{πm}{3Bq}$．

点评 本题考查了电磁感应和电场强度，及粒子在复合场中运动的综合题，难度较大，特别是第三问中最短时间计算时，轨迹的确定是重点也是难点．

练习册系列答案
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19．质量为m的小球用线通过光滑的水平板上的小孔与质量为M的沙桶相连，并且小球做匀速圆周运动，则随着沙子的漏掉，小球圆周运动的轨道半径r、角速度ω、线速度v的大小变化情况是（　　）
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6．如图，质量m=1kg、可看成质点的小物块静止在水平桌面上，其与桌子边缘相距0.4m，物块与桌面间的动摩擦因数为μ=0.4．现用F=5N的水平力向右推小物块，为了使它从桌子上掉下，取g=10m/s2，则力F的作用时间至少为（　　）
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3．如图所示，匀强磁场磁感强度B=0.5T，匝数为n=50匝的矩形线圈，绕转轴OO′垂直于匀强磁场匀速转动，每匝线圈长为L=25cm，宽为d=20cm，线圈每分钟转动1500转，在匀速转动过程中，从线圈平面经过图示位置时开始记时．求：
（1）写出交流感应电动势e的瞬时值表达式；
（2）若每匝线圈本身电阻r=0.02Ω，外接一阻值为13Ω的用电器，使线圈的外电路成闭合电路，写出感应电流i的瞬时值表达式；（提示：电动势的最大值取整数）．
（3）若从线圈平面垂直于磁感线的位置开始记时，感应电动势e′和感应电流i′的瞬时表达式如何？
（4）画出（1）中的e-t图象和（2）中的i-t图象．
4．按频率由小到大，电磁波谱的排列顺序是（　　）
A．红外线、无线电波、紫外线、可见光、γ射线、X射线
B．无线电波、红外线、可见光、X射线、γ射线
C．γ射线、X射线、紫外线、可见光、红外线、无线电波
D．无线电波、紫外线、可见光、红外线、X射线、γ射线

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