题目内容

8．正方体空心框架ABCD-A1B1C1D1下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）沿不同的水平方向分别抛出，落点都在△B1C1D1平面内（包括边界）．不计空气阻力，以地面为重力势能参考平面．则下列说法正确的是（　　）
A．小球初速度的最小值与最大值之比是1：$\sqrt{2}$
B．落在C1点的小球，运动时间最长
C．落在B1D1线段上的小球，落地时机械能的最小值与最大值之比是1：2
D．轨迹与AC1线段相交的小球，在交点处的速度方向都相同

分析 小球做平抛运动，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为自由落体运动．运动时间由下落的高度决定．由分位移公式求初速度．由机械能守恒定律研究落地时机械能．

解答 解：A、小球落在A1C1线段中点时水平位移最小，落在C1时水平位移最大，由几何关系知水平位移的最小值与最大值之比是1：2，由x=v0t，t相等得小球初速度的最小值与最大值之比是1：2，故A错误；
B、小球做平抛运动，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，下落高度相同，平抛运动的时间相等，故B错误；
C、落在B1D1线段中点的小球，落地时机械能的最小，落在B1D1线段上D1或B1的小球，落地时机械能的最大．设落在B1D1线段中点的小球初速度为v1，水平位移为x1．落在B1D1线段上D1或B1的小球初速度为v2．水平位移为x2．由几何关系有 x1：x2=1：$\sqrt{2}$，由x=v0t，得：v1：v2=1：$\sqrt{2}$，落地时机械能等于抛出时的机械能，分别为：E1=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，E2=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，可知落地时机械能的最小值与最大值之比不等于1：2．故C错误．
D、设AC1的倾角为α，轨迹与AC1线段相交的小球，在交点处的速度方向与水平方向的夹角为θ．则有 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，tanθ=$\frac{gt}{{v}_{0}}$，则 tanθ=2tanα，可知θ一定，则轨迹与AC1线段相交的小球，在交点处的速度方向相同，故D正确．
故选：D

点评 该题结合平抛运动考查机械能守恒，解决本题的关键要掌握平抛运动的研究方法，掌握分位移公式，D项也可以根据作为结论记住．

练习册系列答案
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