Question

19．光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆形，其半径为R，固定在竖直平面内．A、B两质量相同都为m的小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上．将A、B两环从图示位置静止释放，A环距离底端为2R．不考虑轻杆和轨道的接触，即忽略系统机械能的损失，当A、B环进入半圆时速率相同，求：
（1）A、B两环都未进入轨道底部半圆形前，杆对A的作用力F；
（2）当A环下滑至轨道最低点时，A、B的速度大小；
（3）在A环下滑至轨道最低点的过程中时，杆对B所做的功W_B．

Answer 1

分析 （1）两个环以及连杆整体自由下落，处于完全失重状态，故杆上弹力为零；
（2）A环到达最低点时，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等；根据几何关系找到B环的位置，然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）对B球，运用动能定理列式，可求得杆对B所做的功W_B．

解答 解：（1）两环都未进入半圆形轨道前都做自由落体运动，加速度为g，则由牛顿第二定律知，两球的合力均等于各自的重力，所以杆上的作用力 F=0．
（2）当A环到达轨道最低点时，B环也已进入半圆轨道（如右图所示），由几何关系知两环的速度大小相等，设为v，由机械能守恒定律得：
    $\frac{1}{2}$•2mv²=mg•2R+mg（2R+Rsin 30°）
解得：v=3$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
（3）对B从起始位置到A到最低点对应B的末位置用动能定理得：
  mg•（2R+Rsin30°）+W_B=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以W_B=-$\frac{mgR}{4}$
答：
（1）A、B两环都未进入轨道底部半圆形前，杆对A的作用力F为0；
（2）当A环下滑至轨道最低点时，A、B的速度大小都是3$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
（3）在A环下滑至轨道最低点的过程中时，杆对B所做的功W_B是-$\frac{mgR}{4}$．

点评 本题的第1小题，也可根据完全失重的特点分析．要抓住两球组成的系统机械能守恒，但单个小球的机械能并不守恒．第3小题，也可以这样解：对A从起始位置到最低点，用动能定理得：mg•2R+W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得，杆对 A所做的功 W_A=$\frac{mgR}{4}$．对系统A、B机械能守恒，所以 W_B=-W_A=-$\frac{mgR}{4}$．