Question

16．滑雪度假村某段雪地赛道可等效为长L=36m，倾角为θ=37°的斜坡．已知滑道的积雪与不同滑板之间的动摩擦因数不同，现假定甲先滑下时滑板与赛道的动摩擦因数μ₁=0.5，乙后滑时滑板与赛道的动摩擦因数为μ₂=0.25，g取10m/s²．已知甲和乙均可看作质点，且滑行方向平行，相遇时不会相撞．求：
（1）甲从坡顶由静止自由滑下时到达坡底的速度大小
（2）若乙比甲晚出发△t=1s，为追上甲，有人从后面给乙一个瞬时作用使乙获得初速度V₀=1m/s，通过计算分析乙能否在甲到达坡底前追上甲；若能追上求出两者在追上前相距的最远距离，若不能追上求出两者到达坡底的时间差．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出甲下滑的加速度大小，结合速度位移公式求出甲从坡顶由静止自由滑下时到达坡底的速度大小；
（2）根据速度时间公式求出甲到达坡底的时间，根据牛顿第二定律和位移时间公式求出乙到达坡底的时间，判断两者在坡上相遇，抓住速度相等时相距最远，结合运动学公式求出最远距离．

解答 解：（1）对甲运动，由牛顿运动定律：m₁gsinθ-μ₁m₁gcosθ=m₁a_甲   
代入数据解得a_甲=2m/s²   
由2a_甲L=v₁²  
代入数据解得：v₁=12m/s  
（2）甲到达坡底的时间t_甲=$\frac{v_1}{a_甲}$=$\frac{12}{2}$s=6s  
对乙：a_乙=gsinθ-μ₂gcosθ=6-0.25×8=4m/s²  
设到达坡底时间为t_乙
L=v₀t_乙+$\frac{1}{2}$a_乙t_乙2  
代入数据解得  t_乙=4s   
t_乙+△t＜t_甲  故可以追上       
设甲出发后经t₁，乙与甲达到共同速度v，则：
V=a_甲t₁=v₀+a_乙（t₁-△t）  
代入数据解得：t₁=1.5s  
X_甲=$\frac{1}{2}$a_甲t₁²=$\frac{9}{4}$m        
X_乙=v₀（t₁-△t）+$\frac{1}{2}$a_乙（t₁-△t）²=1m  
所以△x=X_甲-X_乙=1.25m    
答：（1）甲从坡顶由静止自由滑下时到达坡底的速度大小为12m/s；
（2）两者在追上前相距的最远距离为1.25m．

点评 本题考查了运动学中的追及问题，抓住位移关系，结合运动学公式灵活求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．