Question

4．如图所示为“嫦娥三号”发射示意图．经过地月转移轨道Ⅰ上的长途飞行后，“嫦娥三号”在距月面高度h₁处成功变轨，进入环月圆轨道Ⅱ．在该轨道上运行了约4天后，再次成功变轨，进入近月点高h₂、远月点高h₁的椭圆轨道Ⅲ．此后，沿椭圆轨道通过近月点的“嫦娥三号”以v₀的速度实施动力下降．并成功实施软着陆．已知月球的质量M，半径R；引力常量G，地球的半径R₀，质量为m的物体在距离月球球心r处具有的引力势能E_P=-G$\frac{Mπ}{r}$．求：
（1）“嫦娥三号”在环月圆轨道上运行时的速率v
（2）“嫦娥三号”在绕月椭圆轨道上运动时通过远月点时的速率v₁．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合月球质量和“嫦娥三号”的轨道半径求出“嫦娥三号”在环月圆轨道上运行时的速率．
（2）“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动时只受月球引力作用，满足机械能守恒，根据机械能守恒求出“嫦娥三号”在绕月椭圆轨道上运动时通过远月点时的速率

解答 解：（1）据万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{Mm}{{（R+{h_1}{）^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）嫦娥三号在椭圆轨道上运动时只受月球引力作用，满足机械能守恒，由题意知嫦娥三号在近月点的速度为v₀．根据机械能守恒有：

$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+（-G\frac{Mm}{R+{h}_{2}}）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+（-G\frac{Mm}{R+{h}_{1}}）$，

解得：${v_1}=\sqrt{v_0^2+2GM（\frac{1}{{R+{h_1}}}一\frac{1}{{R+{h_2}}}）}$．
答：（1）“嫦娥三号”在环月圆轨道上运行时的速率为$\sqrt{\frac{GM}{R+{h}_{1}}}$；
（2）“嫦娥三号”在绕月椭圆轨道上运动时通过远月点时的速率为$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2GM（\frac{1}{R+{h}_{1}}-\frac{1}{R+{h}_{2}}）}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道嫦娥三号在椭圆轨道上运行时机械能守恒，难度不大．