Question

2．如图所示，在xOy坐标系中的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场；第二象限内存在大小为B、方向垂直坐标平面向外的有界圆形匀强磁场（图中未画出）．一粒子源固定在x轴上的M（L，0）点，沿y轴正方向释放出速度大小均为v₀的电子，电子经电场后恰好从y轴上的N点进入第二象限．进入第二象限后，电子经磁场偏转后通过x轴时，与x轴的夹角为75°．已知电子的质量为m、电荷量为e，电场强度E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$，不考虑电子的重力和其间的相互作用，求：
（1）N点的坐标．
（2）圆形磁场的最小面积．

Answer 1

分析 （1）从M到N的过程中，电子做类平抛运动，由运动学公式分别写出两个方向的分位移与时间的关系式，联立可得到N点的坐标．
（2）由动能定理求出电子刚进电场时的速度大小，并确定出速度的方向．据题，电子经磁场偏转后通过x轴时，与x轴的夹角为75°，可能是电子经磁场偏转后通过x轴时，与x轴负方向的夹角为75°，也可能是电子经磁场偏转后通过x轴时，与x轴正方向的夹角为75°．分两种情况画出电子的运动轨迹，根据轨迹的圆心角等于速度的偏向角，确定出轨迹的圆心角，由几何知识求解圆形磁场的最小面积．

解答 解：（1）从M到N的过程中，电子做类平抛运动
  L=$\frac{1}{2}$•$\frac{eE}{m}{t}^{2}$
  y_N=v₀t　  
解得：y_N=2L   
故N点的坐标为（0，2L）．
（2）设电子到达N点的速度大小为v，方向与y轴正方向的夹角为θ．由动能定理有
 $\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²=eEL　  
 cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$
据题，E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$
联立解得：v=$\sqrt{2}$v₀，θ=45°
电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r
 evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得 r=$\frac{mv}{eB}$=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{eB}$
①当电子与x轴负方向的夹角为75°时，其运动轨迹图如图，电子在磁场中偏转120°后
垂直于O₁Q射出

则磁场最小半径
 R_min=$\frac{1}{2}$PQ=rsin60°   
解得：S_min=$\frac{3π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$
②当电子与x轴正方向的夹角为75°时，其运动轨迹图如图，电子在磁场中偏转150°后
垂直于O₂Q′射出

则磁场最小半径
  R_min′=$\frac{1}{2}$P′Q′=rsin75°  
解得：S_min′=$\frac{π（2+\sqrt{3}）{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$
答：
（1）N点的坐标为（0，2L）．
（2）圆形磁场的最小面积为$\frac{3π{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$或$\frac{π（2+\sqrt{3}）{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}{B}^{2}}$．

点评 本题中粒子先在电场中做类似平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，要注意两个轨迹的连接点，然后根据运动学公式和牛顿第二定律以及几何关系列式求解，其中画出轨迹是关键，审题时要注意不能漏解．