Question

19．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，整个装置处在方向竖直向上的匀强电场中，两个质量均为m、带相同电量的正电小球a、b，以不同的速度进入管内（小球的直径略小于半圆管的内径，且忽略两小球之间的相互作用），a通过最高点A时，对外管壁的压力大小为3.5mg，b通过最高点A时，对内管壁的压力大小0.25mg，已知两小球所受电场力的大小为重力的一半．求：
（1）a、b两球落地点距A点水平距离之比；
（2）a、b两球落地时的动能之比．

Answer 1

分析 （1）对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，求出速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可求出两球落地点距A点水平距离之比；
（2）从A到落地的过程中机械能守恒，由此求出落地时逗你的表达式，即可求出两球落地时的动能之比．

解答 解：两个小球在最高点时，受重力、电场力和管壁的作用力，这三个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做类平抛运动；
对a球：3.5mg+mg+qE=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$，
其中：qE=0.5mg
解得：v_a=2$\sqrt{gR}$，
对B球：mg-0.25mg-qE=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$，
解得：v_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$，
离开A点后竖直方向：ma=mg-qE
所以：a=0.5g
由平抛运动规律可得：
$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
时间为：t=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$，
落地时它们的水平位移为：s_a=v_at=$4\sqrt{2}R$
s_b=v_bt=$\sqrt{2}R$，
a、b两球落地点间的距离之比：$\frac{{s}_{a}}{{s}_{b}}=\frac{4\sqrt{2}R}{\sqrt{2}R}=\frac{4}{1}$
（2）两个小球做类平抛运动，重力做正功，电场力做负功，由动能定理得：
对a球：$（mg-qE）•2R={E}_{ka}-\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$
解得：E_ka=3mgR
对b球：$（mg-qE）•2R={E}_{kb}-\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
解得：${E}_{kb}=\frac{9}{8}mgR$
所以：a、b两球落地时的动能之比：$\frac{{E}_{ka}}{{E}_{kb}}=\frac{3mgR}{\frac{9}{8}mgR}=\frac{8}{3}$
答：（1）a、b两球落地点距A点水平距离之比是4：1；
（2）a、b两球落地时的动能之比是8：3．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．