Question

3．如图所示，在竖直平面内固定一半径为 R 的光滑轨道，a 点为最高点，d 点为最低点，C 点与圆心 O 等高，a、b 间距为 R．一轻质弹簧的原长为1.5R，它的一端固定在 a 点，另一端系一小圆环，小圆环套在圆轨道上．某时刻，将小圆环从 b 点由静止释放，小圆环沿轨道下滑并通过 d 点．已知重力加速度大小为 g，下列判断正确的是
（　　）

• A． 小圆环从 b 点运动至 d 点的过程中，弹力对其先做正功后做负功
• B． 小圆环从 b 点运动至 C 点的过程中先加速后减速
• C． 小圆环运动至 C 点时的速度大于$\sqrt{gR}$
• D． 小圆环运动至 d 点时的速度小于$\sqrt{3gR}$

Answer 1

分析 根据弹簧的形变量得到弹簧弹力的做功情况，然后对小圆环应用动能定理即可求得圆环的速度．

解答 解：A、圆环运动过程只受弹簧弹力、重力和轨道对圆环的支持力作用，只有弹簧弹力和重力做功，
小圆环从 b 点运动至 d 点的过程中，弹簧长度变长，那么，弹簧先回到原长，再拉伸，故弹力先做正功后做负功，故A正确；
B、小圆环从 b 点运动至 C 点的过程中弹簧长度始终小于原长，故弹力做正功，且重力一直做正功，所以，小圆环一直做加速运动，故B错误；
C、小圆环运动到C 点的过程中弹簧长度始终小于原长，故弹力做正功，重力做的功为mgR，故由动能定理可得：小圆环的动能增量大于mgR，所以，圆环运动至 C 点时的速度大于$\sqrt{gR}$，故C正确；
D、弹簧在b和d点弹簧的形变量相同，故弹性势能相同，那么小圆环运动至 d 点的过程中弹簧弹力做功为零，故由动能定理可得：$mgR（1+cos60°）=\frac{1}{2}m{{v}_{d}}^{2}$，所以，小圆环运动至 d 点时的速度${v}_{d}=\sqrt{3gR}$，故D错误；
故选：AC．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．