Question

10．如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域．其边界为MN、PQ，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，I区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电量为q的带正电的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电、磁复合场后，恰能作匀速率运动．
（1）若带电小球能进入Ⅱ区域，h应满足什么条件？
（2）若带电小球经一定的时间后恰能回到O点，h应满足什么条件？
（3）若带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，h应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）带电小球恰能做匀速率运动，说明重力和电场力均不做功，故一定是匀速圆周运动，则小球所受重力与电场力相等，由洛伦兹力提供向心力，则可得运动的半径公式，由带电小球能进入Ⅱ区域，可得半径与d的关系，再由运动学公式，即可求解．
（2）小球在混合场中做匀速圆周运动，速率不变，只有小球从进入磁场的位置离开磁场，然后做竖直上抛运动，才有可能回到出发点，由动能定理、牛顿第二定律可以求出释放点的高度．
（3）根据题意可知，当带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，则小球做匀速圆周运动，运动轨迹为半圆，根据运动半径公式，结合运动学公式，从而求解．

解答 解：（1）小球做匀速圆周运动，则mg=qE，由洛伦兹力提供向心力，则有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
要使带电小球能进入Ⅱ区域，因此d≤r，
再根据自由落体运动，则有：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$；
由以上三式，联立可解得：h＞$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{q}^{2}}{2{m}^{2}g}$；
（2）小球从进入磁场的位置离开磁场，才可能回到出发点，
小球运动轨迹如图所示；由几何知识得：轨道半径R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$d，

小球下落过程中，由动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：h=$\frac{{2B}^{2}{d}^{2}{q}^{2}}{3{m}^{2}g}$；
（3）根据题意可知，带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，小球在复合场中，做匀速圆周运动，如图所示，

根据牛顿第二定律，则有：Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$，
由几何关系，可得：r=$\frac{d}{2}$；
小球从静止开始做自由下落运动，则有：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$；
由以上三式，可解得：h=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{q}^{2}}{8{m}^{2}g}$
答：（1）若带电小球能进入Ⅱ区域，应满足h＞$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{q}^{2}}{2{m}^{2}g}$；
（2）小球释放时距MN的高度为$\frac{{2B}^{2}{d}^{2}{q}^{2}}{3{m}^{2}g}$；
（3）小球释放时距MN的高度为$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{q}^{2}}{8{m}^{2}g}$．

点评 本题是一道难题，分析清楚粒子的运动过程、作出粒子运动轨迹，熟练应用动能定律、牛顿第二定律、数学知识即可正确解题．