Question

19．一轻质弹簧左端固定在某点，放在水平面上，如图所示．A点左侧的水平面光滑，右侧水平面粗糙，在A点右侧5m远处竖直放置一半圆形光滑轨道，轨道半径R=0.4m，连接处平滑．现将一质量m=0.1kg的小滑块放在弹簧的右端（不拴接），用力向左推滑块而压缩弹簧，使弹簧具有的弹性势能为2J，放手后，滑块被向右水平弹出．已知滑块与A点右侧水平面的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s²．求：
（1）滑块运动到半圆形轨道最低点B处时对轨道的压力；
（2）改变半圆形轨道的位置（左右平移），使得从原位置被弹出的滑块到达半圆形轨道最高点C处时对轨道的压力大小等于滑块的重力，则AB之间的距离应为多大．

Answer 1

分析 （1）从小滑块被释放到达B点的过程中，据动能定理列式，在B点根据向心力公式列式，而弹力做的功等于弹簧具有的弹性势，联立方程即可求解；
（2）在圆周最高点C处，滑块对轨道的压力等于其重力，包含两种情况：第一，当压力方向向上（滑块受到的支持力向下），第二，当压力方向向下（滑块受到的支持力向上），在C点根据向心力公式列式，整个过程中根据动能定理列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）从小滑块被释放到达B点的过程中，据动能定理有：W_弹-$μmgx=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
滑块在圆周轨道B点处，有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
把W_弹=△E_P=2J数据代入，解得：F_N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=$0.1×10+\frac{2×2-2×0.2×0.1×10×5}{0.4}N$=6N
由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为6N，方向竖直向下；
（2）在圆周最高点C处，滑块对轨道的压力等于其重力，包含两种情况：
第一，当压力方向向上（滑块受到的支持力向下）时，
在C点处，有：mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
整个过程有：W-$μmg{x}_{1}-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
把N=mg带入得：x₁=4m
第二，当压力方向向下（滑块受到的支持力向上）时，
在C点处，有：mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
整个过程有：W-$μmg{x}_{2}-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
把N=mg带入得：x₂=6m
答：（1）滑块运动到半圆形轨道最低点B处时对轨道的压力为6N；
（2）改变半圆形轨道的位置（左右平移），使得被弹出的滑块到达半圆形轨道最高点C处时对轨道的压力大小等于滑块的重力，则AB之间的距离应调整为4m或6m．

点评 本题是动能定理与向心力公式的综合应用来处理圆周运动问题．利用功能关系解题的优点在于不用分析复杂的运动过程，只关心初末状态即可，平时要加强训练深刻体会这一点．