Question

11．1871年，人们发现了太阳系中的第七颗行星-天王星，但是，它的运动轨迹有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差；英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家雷维耶相信在天王星轨道外面还存在一颗未发现的行星；他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道，后来这颗行星被命名为“海王星”；设天王星和海王星各自绕太阳做匀速圆周运动，两行星的轨道平面共面，它们绕行的方向相同；设从两行星离得最近时开始计时，到下一次两行星离得最近所经历的最短时间为t；设天王星的轨道半径为R，周期为T；假设忽略各行星之间的万有引力，那么海王星的轨道半径为（　　）

• A． $\root{3}{\frac{{t}^{2}}{t-T}}$R
• B． $\root{3}{（\frac{t-T}{t}）^{2}}$R
• C． $\root{3}{（\frac{t}{t-T}）^{2}}$R
• D． $\frac{t}{t-T}$R

Answer 1

分析 天王星、海王星相距最近时，海王星对天王星的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离，先根据多转动一圈时间为t，求出海王星的周期；然后再根据开普勒第三定律解得轨道半径．

解答 解：由题意可知：海王星与天王星相距最近时，对天王星的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离．
设海王星行星的周期为T₀，圆轨道半径为R₀，则有：（ $\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{{T}_{0}^{\;}}$）t=2π
解得：T₀=$\frac{tT}{t-T}$
据开普勒第三定律：$\frac{{R}_{0}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}=\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$
得：R₀=$\root{3}{（\frac{t}{t-T}）_{\;}^{2}}R$
故C正确，ABD错误．
故选：C

点评 本题关键抓住两行星发生最大偏离的条件是转动角度相差2π，进行列式，并要掌握开普勒第三定律研究周期和轨道半径的关系．