Question

18．如图所示是某同学设计的一种游戏竞赛装置示意图．OA是足够长的倾斜直轨道，倾角 θ=53°．ABCB'是半径为 r=0.4m的圆形轨道．B'D是水平直轨道，长s=1m．直轨道均与圆形轨道相切，切点分别为A和B'．E点位于 D点的正下方h=0.8m处，M、N与E的距离分别为x₁=1.6m、x₂=2.4m，在 M、N处各放一个收集箱．质量m=0.1kg的小球沿轨道运动时，在倾斜轨道和圆形轨道上受到的阻力很小可忽略不计，在水平轨道上受到的阻力恒为其重力的0.2 倍．比赛规定：小球落入M、N收集箱时分别得1分和5分． 该同学在图中O点处无初速释放小球时，小球刚好落入M收集箱，得1分．
（1）从O点无初速释放小球时，求小球从D点飞出的速度大小；
（2）求O点离A点的竖直高度H；
（3）若要在比赛中得5分，则小球在O点应以多大的初速度沿斜面下滑？在此情况下，求小球运动到C点时对轨道的压力．（计算结果可以用根号表示）

Answer 1

分析 （1）由D到M做平抛运动，根据平抛运动的位移公式即可求解；
（2）对O到D的运动过程应用动能定理即可求解；
（3）由平抛运动位移公式求得在D的速度，然后根据动能定理即可求得在O的速度；再对O到C的运动过程应用动能定理求得在C的速度，然后就可由牛顿第二定律求得支持力，最后由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）小球从D到M做平抛运动，故由平抛运动的位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x₁=v_Dt可得：${v}_{D}=\frac{{x}_{1}}{t}=\frac{{x}_{1}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=4m/s$；
（2）小球从O到D只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mg（H+r-rcosθ）-0.2mgs=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$
所以，$H=\frac{\frac{1}{2}{{v}_{D}}^{2}+0.2gs}{g}-r+rcos53°=0.84m$；
（3）若要在比赛中得5分，则同（1）相似，故由平抛运动规律可得在D点的速度${v}_{D}′=\frac{{x}_{2}}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=6m/s$；
那么，对O到D的运动过程应用动能定理可得：$mg（H+r-rcosθ）-0.2mgs=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}'^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{O}}^{2}$
所以，${{v}_{D}}^{2}={v}_{D}{′}^{2}-{{v}_{O}}^{2}$，即${v}_{O}=\sqrt{{v}_{D}{′}^{2}-{{v}_{D}}^{2}}=2\sqrt{5}m/s$；
对小球从O到C的运动过程应用动能定理可得：$mg（H-r-rcosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{O}}^{2}$，
那么，小球在C点所需向心力$F=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{r}=\frac{2mg（H-r-rcosθ）+m{{v}_{O}}^{2}}{r}=6N$；
那么，小球运动到C点时受到轨道的支持力F_N=F-mg=5N，方向竖直向下；
所以，由牛顿第三定律可知：小球运动到C点时对轨道的压力为5N，方向竖直向上；
答：（1）从O点无初速释放小球时，小球从D点飞出的速度大小为4m/s；
（2）O点离A点的竖直高度H为0.84m；
（3）若要在比赛中得5分，则小球在O点应以$2\sqrt{5}m/s$的初速度沿斜面下滑；在此情况下，小球运动到C点时对轨道的压力为5N，方向竖直向上．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．