Question

5．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图1所示形状，相应的曲线方程为y=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（单位：m），式中k=$\frac{1}{5}$m^-1，杆足够长，图中只画出了一部分．将一质量为m=1.0kg的小环（可视为质点）套在杆上，取g=10m/s²．

（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，求小环运动到x=$\frac{5π}{3}$（m）处时的速度的大小；
（2）在第（1）问的情况下，求小环在杆上运动区域的x坐标范围；
（3）一般的曲线运动可以分成许多小段，每一小段都可以看成圆周的一部分，即把整条曲线用系列不同的小圆弧代替，如图2所示，曲线上A点的曲率圆的定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点做一圆，在极限的情况下，这个圆叫做A点的曲率圆．其半径ρ叫做A点的曲率半径．若小环从x=0处以v₂=5$\sqrt{10}$m/s的速度出发沿杆向下运动，到达轨道最低点P时杆对小环的弹力大小为70N，求小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力．

Answer 1

分析 （1）先据曲线方程求出小环运动到x=$\frac{5π}{3}$（m）时的高度，再据机械能守恒求出该点的速度．
（2）据机械能守恒求出小环运动的最高点，再据曲线方程求出小环在赶上的运动区域即可．
（3）先据机械能守恒和牛顿运动定律求出再低点的曲率半径，再利用机械能守恒和牛顿运动定律求出最高点时与杆的作用力．

解答 解：（1）据曲线方程可知，当x=0时，y=-2.5m；当x=$\frac{5π}{3}$（m），y=-5m．
由x=0时到x=$\frac{5π}{3}$（m）为研究对象，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv_1^2$=-mg（5-2.5）+$\frac{1}{2}m{v^2}$，
代入数据解得：v=$5\sqrt{6}m/s$；
（2）分析可知，小环在曲线上运动机械能守恒，当运动到最高点是速率为零，据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv_1^2$+mg（-2.5）=mgh[h为最高点到x轴的距离]…①
据曲线方程：h=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）…②
联立①②解得：x=5π，所以$-\frac{5π}{3}≤x≤5π$；
（3）由小环从x=0处到最低点为研究对象，据功能关系律得：
$\frac{1}{2}mv_2^2$+mg（-2.5）=$\frac{1}{2}mv_3^2$-5mg（v₃为最低点的速度）…③
在最低点为研究对象，据牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$（F为最低点时，小环与轨道的弹力）…④
由小环x=0到最高点为研究对象，据机械能守恒定律：$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$+mg（-2.5）=5mg+$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$（　v₄为最高点的速度）…⑤
再最高点为研究对象，据牛顿第二定律得：
mg-F₂=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$（F₂为最高点时，小环与轨道的弹力）…⑥
联立③④⑤⑥解得：F₂=-10N，负号表示方向竖直向下；
答：（1）若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，求小环运动到x=$\frac{5}{3}π$（m）处时的速度的大小5$\sqrt{6}$m/s；
（2）在第（1）问的情况下，求小环在杆上运动区域的x坐标范围-$\frac{5}{3}π$≤x≤5π；
（3）小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力为10N，方向竖直向下．

点评 本题和数学的上的方程结合起来，根据方程来确定物体的位置，从而利用机械能守恒来解题，题目新颖，是个好题．