Question

14．如图所示，在粗糙水平面上有一质量为M=2kg的粗糙斜面体、斜面的倾角θ=30°，在斜面体的左侧相距为d=1.5m处有一固定障碍物Q，将一质量为m=0.2kg的小物块（可视为质点）用绝缘绳系住，绳的一端固定在斜面体的顶端，此时小物块恰好能在斜面体上与斜面体一起保持静止且绳刚好伸直无弹力．现给斜面体施加一水平向左的推力F，使斜面体和小物块一起向左做匀加速运动，当斜面体到达障碍物Q与其碰撞后，斜面体立即被障碍物Q锁定．已知斜面体与地面间的动摩擦因数为μ₁=0.5，重力加速度g=10m/s²，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，求：
（1）小物块与斜面间的动摩擦因数μ₂；
（2）最大的水平推力F；
（3）若用最大水平推力作用在斜面体上，斜面体被障碍物Q锁定后，小物体在绝缘绳牵引下沿圆周运动而不脱离圆轨道，轻绳的长度应满足的条件？

Answer 1

分析 （1）抓住物块恰好能够静止在斜面上，根据共点力平衡条件求出小物块与斜面间的动摩擦因数μ₂．
（2）当物块所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，加速度最大，水平推力即最大．隔离对物块分析，求出物块的最大加速度，再对整体分析，根据牛顿第二定律求出水平推力F的大小．
（3）根据速度位移公式求出物块抛出的初速度，结合圆周运动最高点的临界条件和机械能守恒定律求解．

解答 解：（1）物块恰好静止在斜面上且绳刚好伸直无弹力，则有：
  mgsinθ=μ₂mgcosθ
解得：μ₂=tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）当物块所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，需要加速度最大，对物块受力分析，由牛顿第二定律可得：
竖直方向有 F_Ncosθ=mg+f_msinθ…①
水平方向有 F_Nsinθ+f_mcosθ=ma_m…②
 f_m=μ₂F_N…③
由以上三式可解得：a_m=$\sqrt{3}$g
对整体列式：F-μ₁（M+m）g=（M+m）a_m
解得：F=（M+m）（gμ₁+a_m）=（11+2$\sqrt{3}$）N
（3）物块抛出的速度为：v₀=$\sqrt{2{a}_{m}d}$=2$\sqrt{5\sqrt{3}}$m/s²．
设轻绳的长度为L．
在圆周的最高点有 m$\frac{{v}^{2}}{L}$≥mg
从抛出到最高点，由机械能守恒定律有
   mgL（1+sinθ）+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得 L≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$m
答：
（1）小物块与斜面间的动摩擦因数μ₂是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）最大的水平推力F是（11+2$\sqrt{3}$）N．
（3）轻绳的长度应满足的条件是L≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，得出物块最大加速度是解决本题的关键，掌握整体法和隔离法在动力学中的运用．