Question

3．如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：
（1）微粒在磁场中运动的周期；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小；
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中只受洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运动．由牛顿第二定律和圆周运动规律求出周期．
（2）根据题意作出粒子可能的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析答题．
（3）由几何知识分析轨迹半径的最大值，由半径公式求出速度的最大值．

解答 解：（1）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$及T=$\frac{2πr}{v}$得：
微粒在磁场中运动的周期  T=$\frac{2πm}{Bq}$．
（2）令n表示带电粒子在磁场中运动时的圆心个数，则
由几何关系可知，微粒运动的轨道半径r应满足：r=Rtan$\frac{π}{2n}$，（n=2，3，4，5，…），
结合（1）可知，v=$\frac{qBr}{m}=\frac{qB}{m}Rtan\frac{π}{2n}$，（n=2，3，4，5，…）；
相应的运动轨迹所对应的圆心角φ满足：
①当n为偶数时，φ=（2π-$\frac{n-1}{n}$π）$\frac{n}{2}$+$\frac{n-1}{n}$π$•\frac{n}{2}$=nπ；（n=2，4，6，8，…）
②当n为奇数时，φ=（2π-$\frac{n-1}{n}$π）$\frac{n+1}{2}$+$\frac{n-1}{n}$π$•\frac{n-1}{2}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$；（n=3，5，7，9，…）
对应的运动时间t满足：
①当n为偶数时，t=$\frac{n}{2}T=\frac{nπm}{Bq}$，（n=2，4，6，8，…）；
②当n为奇数时，t=$\frac{{n}^{2}+1}{n}•\frac{T}{2}$=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nBq}$；（n=3，5，7，9，…）
（3）由几何关系可知，r_n+$\frac{{r}_{n}}{sin\frac{π}{2n}}$≤2R，（n=2，3，4，5，…）；
得：当n=3时，r可取满足条件的最大值，r_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$，
相应的粒子速度v_max=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．
相应的运动轨迹如图所示．

答：
（1）微粒在磁场中运动的周期为$\frac{2πm}{Bq}$；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为$\frac{qB}{m}Rtan\frac{π}{2n}$，（n=2，3，4，5，…）；对应的运动时间；①当n为偶数时，t=$\frac{nπm}{Bq}$，（n=2，4，6，8，…）；②当n为奇数时，t=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nBq}$；（n=3，5，7，9，…）；
（3）速度的最大值是$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．

点评 此题对运动轨迹的特殊性研究到一般性探究，这是分析问题的一种方法．同时要利用圆的特性与物理规律相结合．本题是一道难题，根据题意作出粒子的运动轨迹是本题解题的难点，也是正确解题的关键．