Question

2．如图，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨距为d．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B．P、M间接有阻值为3R的电阻．Q、N间接有阻值为6R的电阻，质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为R．现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离s时，达到最大速度．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g．求：
（1）金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ时，金属杆ab消耗的电功率；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，通过6R的电量；
（4）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）从静止释放ab，ab棒切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，两个定值电阻3R与6R并联，可求得总电阻．当ab棒匀速运动时，速度达到最大，根据平衡条件和安培力公式，求解金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ时，根据牛顿第二定律求得此时金属杆ab运动的速度，得到感应电流，即可求得金属杆ab消耗的电功率；
（3）根据法拉第定律、欧姆定律推导出电量表达式 q=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，求出通过ab的电量，再得到通过6R的电量．
（4）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，重力做正功，安培力做负功，根据动能定理求得导体棒ab克服安培力做功．

解答 解：（1）设金属杆ab运动的最大速度为v．
电路的总电阻为 R_总=R_并+R=$\frac{3R•6R}{3R+6R}$+R=3R；
电路中电流为 I=$\frac{Bdv}{{R}_{总}}$=$\frac{Bdv}{3R}$
当金属棒ab达到最大速度时受力平衡．则有
  mgsinθ=BId=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{3R}$     
解得最大速度为 v=$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}{d}^{2}}$  
（2）金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ 时，电路中电流设为I′．
根据牛顿第二定律F_合=ma，得：
  mgsinθ-BI′d=ma
解得 I′=$\frac{mgsinθ}{2Bd}$
金属杆ab消耗的电功率 P=I′²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{4{B}^{2}{d}^{2}}$
（3）通过干路的总电量为 Q=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$=$\frac{Bds}{3R}$
由于3R与6R两个电阻并联，所以，通过6R的电量为 Q₁=$\frac{3R}{3R+6R}$Q=$\frac{Bds}{9R}$     
（4）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，根据动能定理
  W_G-W_克安=△E_k
即有 mgssinθ-W_克安=$\frac{1}{2}$mv²；                   
解得克服安培力所做的功 W_克安=mgssinθ-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{d}^{4}}$    
答：
（1）金属杆ab运动的最大速度是$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}{d}^{2}}$；
（2）金属杆ab运动的加速度为$\frac{1}{2}$gsinθ时，金属杆ab消耗的电功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{4{B}^{2}{d}^{2}}$；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，通过6R的电量是$\frac{Bds}{9R}$；
（4）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功是mgssinθ-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{d}^{4}}$．

点评 本题是电磁感应中收尾速度问题，分别从力和能量两个角度进行研究．其中安培力的分析和计算是解题的关键步骤．