Question

7．如图所示，竖直四分之一光滑圆弧轨道固定在平台AB上，轨道半径R=1.8m，末端与平台相切于A点．倾角θ=37°的斜面BC紧靠平台固定．从圆弧轨道最高点由静止释放质量m=1kg的滑块a，当a运动到B点的同时，与a质量相同的滑块b从斜面底端C点以速度v₀=5m/s沿斜面向上运动，a、b（视为质点）恰好在斜面上的P点相遇，已知AB长度s=2m，a与AB面及b与BC面间的动摩擦因数均为μ=0.5，g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
（1）滑块a到B点时的速度；
（2）斜面上PC间的距离．

Answer 1

分析 （1）对滑块a从下滑到B点的过程运用动能定理，求出滑块a到达B点的速度大小．
（2）根据平抛运动的规律求出滑块a的运动时间，根据牛顿第二定律求出滑块b上滑和下滑的加速度大小，结合运动学公式求出斜面上P、C间的距离．

解答 解：（1）滑块a从光滑圆弧轨道滑下到达B点的过程中，根据动能定理有：
$mgR-μmgs=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得：v=4m/s．
（2）滑块a到达B点后做平抛运动，根据平抛运动的规律有：
x′=vt，
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
$tanθ=\frac{y}{x}$，
代入数据解得：t=0.6s，
滑块b从斜面底端上滑时，根据牛顿第二定律有：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
代入数据解得：${a}_{1}=10m/{s}^{2}$
向上运动的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=0.5s$＜0.6s，
然后接着下滑，根据牛顿第二定律有：mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂，
代入数据得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
可得：x_PC=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²-$\frac{1}{2}$a₂（t-t₁）²=1.24m
答：（1）滑块a到B点时的速度为4m/s；
（2）斜面上PC间的距离为1.24m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道a平抛运动的时间和b运动的时间相等，结合运动学公式灵活求解，注意滑块b上滑和下滑的加速度大小不等．