Question

3．某同学利用如图装置探究均匀规则定滑轮的转动动能：长为L倾角30°的光滑斜面固定在桌角，质量为2m的小物体A与质量为m_B的小物体B用长轻绳绕过半径R的定滑轮连接，A与滑轮之间的绳子与斜面平行．将A从斜面顶端静止释放，测得到达斜面底端时的速度v．减小定滑轮质量M（不改变大小尺寸）重复实验，得到多组v和M的值如表格所示．已知L、g、m、R，不计滑轮转轴处摩擦，绳与滑轮不打滑．

M	$\frac{1}{{v}^{2}}$
m	$\frac{30}{10gL}$
0.8m	$\frac{29}{10gL}$
0.6m	$\frac{28}{10gL}$
0.4m	$\frac{27}{10gL}$
0.2m	$\frac{26}{10gL}$

（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M图线；
（2）对图象做合理推广，据此求出m_B；
（3）若滑轮质量为m，以角速度ω转动时，写出它的动能表达式（用m、R、ω表示）．

Answer 1

分析 （1）根据表格中数据，运用描点法作图．
（2）根据图象的截距和斜率的意义，求出滑轮质量不计时的速度，再根据机械能守恒定律求m_B．
（3）根据系统的机械能守恒求出A到达斜面底端时的速度，再得到滑轮的动能表达式．

解答 解：（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M图线如图所示．
（2）图象的截距为$\frac{25}{10gL}$，它表示滑轮不计质量时，速度平方的倒数，即
  $\frac{1}{{v}^{2}}$=$\frac{25}{10gL}$
所以当滑轮的质量不计时，v=$\sqrt{\frac{10gL}{25}}$
考虑A在斜面上的运动，并不计滑轮质量，有
  2mg$\frac{L}{2}$-m_BhL=$\frac{1}{2}（2m+{m}_{B}）{v}^{2}$
所以 m_B=0.5m
（3）当滑轮质量为m时，$\frac{1}{{v}^{2}}$=$\frac{30}{10gL}$，即 v=$\sqrt{\frac{10gL}{30}}$
设A到达斜面底端时速度为v，此时滑轮动能为E_k．则根据机械能守恒定律得
  2mg$\frac{L}{2}$-（$\frac{1}{2}$m）hL=$\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$+E_k；
所以 E_k=$\frac{1}{2}m$gL-$\frac{5}{4}m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}^{2}$
而 v=Rω
解得 E_k=$\frac{1}{4}$mR²ω²．
答：
（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M图线如图所示；
（2）对图象做合理推广，得到m_B为0.5m；
（3）若滑轮质量为m，以角速度ω转动时，它的动能表达式为E_k=$\frac{1}{4}$mR²ω²．

点评 解决本题的关键要把握图象的信息，抓住截距和斜率的意义，合理进行外推，并结合机械能守恒定律研究．