Question

12．如图所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m．撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：

（1）A固定不动时，A对B支持力的大小N；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小v_x．

Answer 1

分析 （1）依据力的合成法则，结合平衡条件与三角知识，即可求解；
（2）根据运动的合成与分解，结合各自位移存在的几何关系，及三角知识，即可求解；
（3）根据系统只有重力做功，机械能守恒，结合相似三角形，得出速度之比等于位移之比，从而求解．

解答 解：（1）根据受力分析：重力、支持力与绳子的拉力，

结合力的平行四边形定则，及平衡条件与三角知识，
则斜面的支持力大小为：
N=mgcosα；
（2）撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动，根据运动的合成与分解，当A滑动的位移为x时，设B的位移大小s，依据几何关系有：

则有：s_x=x（1-cosα）
s_y=xsinα
且s=$\sqrt{{s}_{x}^{2}+{s}_{y}^{2}}$；
解得：s=x$\sqrt{2（1-cosα）}$=2xsin$\frac{α}{2}$；
（3）因B的下降的高度为s_y=xsinα；
根据系统只有重力做功，机械能守恒定律，则有：
mgs_y=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
如下图所示，画阴影部分的三角形相似，依据位移之比等于速度之比，

可得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{x}{s}$
则有：v_B=v_A$\sqrt{2（1-cosα）}$；
解得：v_A=$\sqrt{\frac{2gxsinα}{3-2cosα}}$
答：（1）A固定不动时，A对B支持力的大小mgcosα；
（2）A滑动的位移为x时，B的位移大小2xsin$\frac{α}{2}$；
（3）A滑动的位移为x时的速度大小$\sqrt{\frac{2gxsinα}{3-2cosα}}$．

点评 考查力的平行四边形定则与平衡条件的应用，掌握运动的合成与分解与三角知识的内容，理解机械能守恒的条件，及其定律的运用，注意运用三角形相似，确定位移之比与速度之比是解题的关键．