Question

10．现要通过实验验证机械能守恒定律．实验装置如图1所示：水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨；导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上的B点有一光电门，可以测量遮光片经过光电门时的挡光时间t．用d表示A点到导轨底端C点的距离，h表示A与C的高度差，b表示遮光片的宽度，x表示A、B两点间的距离，将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点时的瞬时速度．用g表示重力加速度．完成下列填空和作图：

（1）若将滑块自A点由静止释放，则在滑块从A运动至B的过程中，滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量可表示为$\frac{（Mh-md）gx}{d}$，动能的增加量可表示为$\frac{（m+M）{b}^{2}}{2{t}^{2}}$．若在运动过程中机械能守恒，$\frac{1}{{t}^{2}}$与x的关系式为$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d{b}^{2}}x$．
（2）多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点（A点）下滑，测量相应的x与t值．结果如下表所示：

	1	2	3	4	5
x/（m）	0.600	0.800	1.000	1.200	1.400
t/（ms）	8.22	7.17	6.44	5.85	5.43
$\frac{1}{{t}^{2}}$/（×104 s-2）	1.48	1.95	2.41	2.92	3.39

以x为横坐标，$\frac{1}{{t}^{2}}$为纵坐标，在图2位置的坐标纸中描出第1和第5个数据点；根据5个数据点作直线，求得该直线的斜率k=2.40×10⁴ m^-1•s^-2（保留三位有效数字）．
（3）由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-x直线的斜率k₀，将k和k₀进行比较，若其差值在实验允许的范围内，则可认为此实验验证了机械能守恒定律．

Answer 1

分析 本题的关键是滑块和砝码组成的系统机械能守恒，在求系统减少的重力势能时注意砝码的重力势能增加了mgs，滑块和砝码的速度大小相等，可求出系统增加的动能，然后根据机械能守恒可得出$\frac{1}{{t}^{2}}$与s的关系式，再讨论即可，根据变量的数据作出图象，结合数学知识求出斜率．

解答 解：（1）当滑块运动到B点时下降高度设为h′，此时砝码上升的高度为x，由几何关系可知h′=$\frac{hx}{d}$，故系统减少的重力势能为：
△E_p=Mgh′-mgx=$\frac{（Mh-md）gx}{d}$．
由于系统从静止开始运动，运动至B点时的速度v_B=$\frac{b}{t}$，故动能的增加量为：
△E_k=$\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{B}^{2}$=$\frac{（m+M）{b}^{2}}{2{t}^{2}}$．
由△E_p=△E_k
可解得：$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d{b}^{2}}x$
（2）描点及作直线见图．在图中直线上取相距较远的两点，读出两点坐标，由k=$\frac{△（\frac{1}{{t}^{2}}）}{△x}$可得：
k=2.40×10⁴ m^-1•s^-2．
（3）由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-x直线的斜率k_o=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d{b}^{2}}$
比较k与k_o，若其差值在试验允许的范围内，则可认为此试验验证了机械能守恒定律．
故答案为：（1）$\frac{（Mh-md）gx}{d}$，$\frac{（m+M）{b}^{2}}{2{t}^{2}}$，$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d{b}^{2}}x$；（2）2.40

点评 求解实验题的关键是正确利用物理规律列出方程，然后再求解即可，注意本实验属于滑块和砝码组成的系统的机械能守恒；求斜率时要注意单位和有效数字的保留．