Question

20．假如你将来成为一名宇航员，你驾驶一艘宇宙飞船飞临一未知星球，你发现当你关闭动力装置后，你的飞船贴着星球表面飞行一周用时为t秒，而飞船仪表盘上显示你的飞行速度大小为v米每秒．已知引力常量为G．问该星球的：
（1）半径R多大？
（2）第一宇宙速度v₁多大？
（3）质量M多大？
（4）表面重力加速度g多大？

Answer 1

分析 由一周用时可知其周期，因飞船贴星球表面运动其速度为第一宇宙速度，由万有引力提供向心力可求得星球的质量，由重力加速度等于向心加速度可求得向心加速度．

解答 解：（1）因做匀速圆周运动周期为t则：2πR=vt 则R=$\frac{vt}{2π}$
（2）第一宇宙速度为贴星表面运行速度则：v₁=v
（3）由万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$ 得：$M=\frac{R{v}^{2}}{G}=\frac{{v}^{3}t}{2πG}$
（4）重力提供向心力，即重力加速度等于向心加速度：$mg=m\frac{v^2}{R}$ 得$g=\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{2πv}{t}$
答：（1）半径为$\frac{vt}{2π}$
（2）第一宇宙速度为v
（3））质量为$\frac{{v}^{3}t}{2πG}$
（4）表面重力加速度为$\frac{2πv}{t}$

点评 考查圆周运动速度与半径的关系明确s=vt．由万有引力提供向心力是求解天体运动问题的关键．