Question

4．同重力场作用下的物体具有重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有引力势能，宇宙中有一个质量为M、半径为R的星球，若取无穷远引力势能为零，质量为m的物体距星球球心距离为r时的引力势能为E_p=-G$\frac{Mm}{r}$（G为引力常量），宇航员在该星球上以初速度v₀抛出一个物体，不计空气阻力，下列分析正确的是（　　）

• A． 若初速度竖直向上，且物体上升高度远小于星球半径，则物体返回到抛出点的时间为$\frac{{R}^{2}{v}_{0}}{GM}$
• B． 若初速度竖直向上，且物体上升高度大于星球半径，则物体上升的最大高度为$\frac{{R}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2GM}$
• C． 若初速度沿水平方向，要使物体将不再落回星球表面，则v₀≥$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
• D． 若物体能运动到距离星球无穷远处而脱离星球的束缚，则v₀≥$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力得出星球表面重力加速度，若上升的高度远小于星球的半径，则重力加速度可以认为不变，结合速度时间公式求出竖直上抛运动的时间，若物体上升的高度大于星球的半径，结合机械能守恒求出物体上升的最大高度．
若初速度水平，结合万有引力提供向心力得出发射物体的最小速度，从而得出速度的范围．根据机械能守恒求出物体脱离星球的束缚的速度范围．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，则物体抛出到返回抛出点的时间t=$2×\frac{{v}_{0}}{g}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{GM}$，故A错误．
B、若初速度竖直向上，物体上升的高度大于星球的半径，根据机械能守恒有：$-G\frac{Mm}{{R}^{2}}+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$，可知h≠$\frac{{R}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2GM}$，故B错误．
C、若初速度沿水平方向，要使物体将不再落回星球表面，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，可知${v}_{0}≥\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故C正确．
D、若物体能运动到距离星球无穷远处而脱离星球的束缚，根据机械能守恒有：$-G\frac{Mm}{{R}^{2}}+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=0$，解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，则v₀≥$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，故D正确．
故选：CD．

点评 本题考查了万有引力定律与机械能守恒、运动学公式的综合运用，注意物体上升的高度大于星球半径时，不能运用速度位移公式求出上升的高度，因为重力加速度已经发生变化，需通过机械能守恒进行求解．