题目内容

16．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h．
弯道半径r/m660330220165132110
内外轨高度差h/mm50100150200250300
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值．
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1.500m，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率（路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理，结果可用根号表示，g=10m/s2）．
（3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高，请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．

分析 （1）由于660×50=330×100=220×150为定值即hr=33m2，故可以求出当r=440m时h的设计值；
（2）因为火车运动的轨迹圆沿水平方向，转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，故有mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，再根据当θ很小，有：$tanθ≈sinθ=\frac{h}{L}$，即可求出火车转弯的速率v．
（3）根据（2）中速率v的表达式即可找到可采取的有效措施．

解答 解：（1）分析表中数据可得，
h•r=660×50×10-3 m2=33 m2
当r=440 m时，有
$h=\frac{33}{440}m=0.075m=75mm$．
（2）火车转弯时，若车轮对铁轨没有侧向压力，则火车的受力如图所示，由牛顿第二定律得，
mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$   ①
根据题意，因为θ很小，所以有
$tanθ≈sinθ=\frac{h}{L}$    ②
①②联立得v=$\sqrt{\frac{ghr}{L}}$
代入数据得v=$\sqrt{\frac{10×33}{1.5}}m/s=\sqrt{220}m/s$=$2\sqrt{55}$m/s．
（3）有效措施有：①适当增大内外轨的高度差h；      ②适当增大铁路弯道的轨道半径r．
答：（1）h的设计值为75mm；
（2）我国火车的转弯速率为$2\sqrt{55}$m/s；
（3）①适当增大内外轨的高度差h； ②适当增大铁路弯道的轨道半径r．

点评 轨道的支持力在竖直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因为火车运动的轨迹圆沿水平方向而不是沿斜面方向．

练习册系列答案
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