Question

6．“嫦娥一号”成功实现了绕月飞行，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，则月球密度与地球密度之比以及月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比分别是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$和$\frac{1}{24}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$和$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{2}{3}$和$\frac{1}{12}$
• D． $\frac{2}{3}$和$\frac{\sqrt{6}}{12}$

Answer 1

分析 在天体表面$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，根据密度定义表示出密度公式，再通过已知量进行比较．
根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期和第一宇宙速度，再通过已知量进行比较．

解答 解：在天体表面$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，所以GM=gR²，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，所以地球的质量与月球的质量之间的关系为：
$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}•{（\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}）}^{2}$
根据：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，GM=gR²，所以ρ=$\frac{3g}{4πR}$
地球的平均密度与月球的平均密度之比为：$\frac{{ρ}_{月}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}=\frac{1}{6}×\frac{4}{1}=\frac{2}{3}$；
忽略地球的自转则有万有引力等于物体的重力，当卫星贴近地球表面圆周运动运动时有：
 mg_地=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}}$
解得：v₁=$\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}$
同理当登月舱在月球表面作圆周运动时，有：
 mg_月=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{月}}$
解得：v₂=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}$
故$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}}{{g}_{地}{R}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
所以选项D正确，ABC错误．
故选：D

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比．
当不知道中心天体的质量和万有引力常量G，并知道中心天体表面的重力加速度g的时候要用黄金代换公式G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg求出GM=gr²．这是我们常用的一个技巧和方法要注意掌握．