神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体.探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时.发现了LMCX-3双星系统.它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点.不考虑其他天体的影响.A.B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动.它们之间的距离保持不变.如图所示．引力常量为G.由观测能够得到可见星A的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×10⁵m/s，运行周期T=4.7π×10⁴s，质量m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

分析（1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞

解答解：（1）设A、B圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω．由牛顿运动定律，有：
F_A=m₁ω²r₁，F_B=m₂ω²r₂，
又 F_A=F_B
设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂，
由以上各式得r=$\frac{{m}_{1}{+m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$…①
由万有引力定律，有F_A=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$
将①代入得：F_A=G$\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{r}_{1}}^{2}}$，
令 F_A=G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$
比较可得：m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$…②
（2）由牛顿第二定律，有G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$=m₁$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…③
又可见星A的轨道半径：r₁=$\frac{vT}{2π}$…④
由②③④式解得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$…⑤
（3）将m₁=6m_s代入⑤式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
代入数据得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（6{m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}$=3.5m_s…⑥
设m₂=nm_s（n＞0），将其代入⑥式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（6{m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}$…⑦
可见，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（6{m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}$的值随n的增大而增大，试令n=2，得：$\frac{n}{{（\frac{6}{n}+1）}^{2}}{m}_{s}$=0.125m＜3.5m_s…⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$；
（2）暗星B的质量m₂与可见星A的速率v为、运行周期T和质量m₁之间的关系式为$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（3）暗星B有可能是黑洞

点评对于双星问题一定要抓住两个条件：一是周期相同；二是半径之和等于他们的距离，运用隔离法，由牛顿运动定律解题．

练习册系列答案

高中学业水平考试复习学与练指导精编丛书系列答案

高效复习计划小学毕业升学总复习系列答案

优加学案口算题卡系列答案

12．地球质量为M，半径为R，万有引力恒量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，近地卫星的速度称为第一宇宙速度．
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据．
（2）若已知第一宇宙速度的大小约为v=8.0km/s，地球半径R=6.4×10³km，万有引力恒量G=$\frac{2}{3}$×10^-10N•m²/kg²，求地球质量（结果要求二位有效数字）

9．太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则下列说法不正确的是（　　）

	A．	直线三星系统中甲星和丙星的角速度相同
	B．	此三星系统的运动周期为T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5GM}}$
	C．	三角形三星系统中星体间的距离为L=$\root{3}{{\frac{12}{5}}}$R
	D．	三角形三星系统的线速度大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{5GM}{R}}$

16．质量相同的两方形木块A、B紧靠一起放在光滑水平面上，一子弹先后水平穿透两木块后射出，若木块对子弹的阻力恒定不变，且子弹射穿两木块的时间相同，则子弹射穿木块时A、B木块的速度之比（　　）

6．“嫦娥一号”成功实现了绕月飞行，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，则月球密度与地球密度之比以及月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比分别是（　　）

A．

$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{24}$