Question

1．历史上有些科学家曾把在相等位移内速度变化相等的单向直线运动称“匀变速直线运动”（现称“另类匀变速直线运动”），“另类加速度n”定义为A=$\frac{{v}_{s}-{v}_{0}}{s}$其中v₀，v_s分别表示某段位移s内的初速度和末速度，A＞0表示物体加速，A＜0表示减速．
（1）根据“另类加速度”定义，求出某段位移s中点的速度（用v₀和v_s表示）现在我们按另类加速度及另类匀变速直线运动的定义来研究下列运动：已知一导体棒质量m，电阻为R，以初速度v₀开始在水平光滑的U形导轨上运动．U形导轨间距为L，且导轨电阻不计，U形导轨间存在垂直于水平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B．
（2）试写出物体位移为s时物体速度v_s的表达式；
（3）并求出导体棒的最大位移s_m；
（4）判断该物体的运动是否另类匀变速直线运动．如果是，试写出其另类加速度A的值；如果不是，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据另类加速度的定义式求某段位移s中点的速度
（2）将另类加速度定义式变形即${v}_{s}^{\;}$的表达式
（3）根据牛顿第二定律列式，运用微元法求最大位移
（4）根据动量定理求另类加速度A的值

解答 解：（1）根据“另类加速度”定义，求出某段位移s中点的速度（用v₀和v_s表示），$\frac{{v}_{\frac{s}{2}}^{\;}-{v}_{0}^{\;}}{\frac{s}{2}}=\frac{{v}_{s}^{\;}-{v}_{0}^{\;}}{s}$，${v}_{\frac{s}{2}}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+{v}_{s}^{\;}}{2}$
（2）根据另类加速度的定义$A=\frac{{v}_{s}^{\;}-{v}_{0}^{\;}}{s}$，变形得${v}_{s}^{\;}={v}_{0}^{\;}+As$
（3）导体棒受安培力作用，做减速运动，${F}_{安}^{\;}=BIL=B\frac{BLv}{R}L=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R}$
根据牛顿第二定律$-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R}=ma$
两边同时△t得：$-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R}•△t=ma△t$
两边求和：$-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}∑v△t=m∑△v$
$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{s}_{m}^{\;}}{R}=m{v}_{0}^{\;}$
解得：${s}_{m}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}R}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
（4）根据动量定理$-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R}△t=m△v$
$-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}△s}{R}=m△v$
变形得A=$\frac{△v}{△s}=-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{mR}$，因为A为定值，所以物体做另类匀变速直线运动
答：（1）根据“另类加速度”定义，某段位移s中点的速度${v}_{\frac{s}{2}}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}+{v}_{s}^{\;}}{2}$
（2）（2）物体位移为s时物体速度v_s的表达式${v}_{s}^{\;}={v}_{0}^{\;}+As$；
（3）导体棒的最大位移${s}_{m}^{\;}$为$\frac{m{v}_{0}^{\;}R}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$；
（4）判断该物体的运动是另类匀变速直线运动．另类加速度A的值为$-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{mR}$

点评 本题属于信息给予题，正确应用所给信息是解题关键，如本题中根据题意可知“另类匀变速直线运动”中速度是随位移均匀增加的．