Question

12．如图所示，放置在竖直平面内的$\frac{1}{4}$圆轨道AB，O点为圆心，OA水平，OB竖直，半径为2$\sqrt{2}$m．在O点沿OA抛出一小球，小球击中圆弧AB上的中点C，v_t的反向延长线与OB的延长线相交于D点．已知重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球运动的时间？
（2）OD的长度为多少？

Answer 1

分析 小球击中圆弧AB上的中点C，得出平抛运动的水平位移和竖直位移，根据竖直方向做自由落体运动求出平抛运动的时间．平抛运动速度的反向延长线经过其水平位移的中点．求出C点的速度方向，根据几何关系求出h．

解答 解：（1）平抛运动的水平位移和竖直位移相等，x=y=Rcos45°=2m
根据y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得，t=$\sqrt{\frac{2y}{g}}$=$\sqrt{\frac{2}{5}}$s 
（2）设OA与速度的反向延长线的交点为E，因为平抛运动速度的反向延长线经过其水平位移的中点，则OE=1m
设速度与水平方向的夹角为θ，因为速度与水平方向夹角的正切值等于此时位移与水平方向夹角正切值的两倍．
则tanθ=2tan45°=2
设角BDC为α，则tanα=$\frac{OE}{h}=\frac{1}{ttanθ}=\frac{1}{2}$
所以h=2m
答：（1）小球运动的时间是$\sqrt{\frac{2}{5}}$s；
（2）OD的长度为2m．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及掌握平抛运动的推论，某时刻速度与水平方向夹角的正切值等于此时位移与水平方向夹角正切值的两倍．