题目内容
7．
新发现行星，其星球半径为R=6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为h=10km，学者们对该行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，已知万有引力常量G=6.67×10-11N•m2/kg2，海水密度ρ=1.0×103kg/m3，半径为R的球面面积公式S=4πR2．（提示：在匀质球层的空腔内，任意位置的质点受到球壳的万有引力为零）
求：①此星球表面海水的质量约为多少？（用R、ρ、h字母表示）
②此行星表面处的自由落体加速度约为多少？
分析 （1）先求海水体积，再根据m=ρV求质量
（2）根据万有引力等于重力求星球表面自由落体加速度
解答 解：（1）令R、${R}_{0}^{\;}$分别表示此星球（包括海洋）及星球内层（除表层海洋外）的半径，r表示海洋内任意一点A到星球中心的距离，则
${R}_{0}^{\;}≤r≤R$
且${R}_{\;}^{\;}={R}_{0}^{\;}+h$
设星球的总质量为M，水的密度为ρ，由于h远小于R．所以星球表面海洋的总质量可表示为
$m=4π{R}_{0}^{2}hρ≈4π{R}_{\;}^{2}hρ$
（2）由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{表}^{\;}$得${g}_{表}^{\;}=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
$G\frac{（M-m）m}{{R}_{0}^{2}}=m{g}_{0}^{\;}$得${g}_{0}^{\;}=\frac{G（M-m）}{{R}_{0}^{2}}$
依题意：${g}_{表}^{\;}={g}_{0}^{\;}$，即：$\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{（M-m）}{{R}_{0}^{2}}=\frac{（M-m）}{（R-h）_{\;}^{2}}•M$=$\frac{{R}_{\;}^{2}m}{2Rh-{h}_{\;}^{2}}$
则${g}_{表}^{\;}=\frac{G×4π{ρ}_{水}^{\;}{R}_{\;}^{2}h}{{R}_{\;}^{2}•2h}=2πG{ρ}_{水}^{\;}R$
将$G=6.67×1{0}_{\;}^{-11}N•{m}_{\;}^{2}/k{g}_{\;}^{2}$，${ρ}_{水}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{3}kg/{m}_{\;}^{3}$，$R=6.4×1{0}_{\;}^{6}m$代入得：${g}_{表}^{\;}=2.7m/{s}_{\;}^{2}$
答：①此星球表面海水的质量约为$4π{R}_{\;}^{2}hρ$
②此行星表面处的自由落体加速度约为$2.7m/{s}_{\;}^{2}$
点评 解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是如何求中心天体的质量．
名校课堂系列答案
如图所示，放置在竖直平面内的$\frac{1}{4}$圆轨道AB，O点为圆心，OA水平，OB竖直，半径为2$\sqrt{2}$m．在O点沿OA抛出一小球，小球击中圆弧AB上的中点C，vt的反向延长线与OB的延长线相交于D点．已知重力加速度g=10m/s2．求：
如图所示，人沿平直的河岸以v匀速行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．则下列说法正确的是（ ）| A． | 船在靠岸前做的是匀变速运动 | |
| B． | 船在靠岸前的运动轨迹是直线 | |
| C． | 当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为vcosα | |
| D． | 当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为$\frac{v}{cosα}$ |
一个物体从光滑斜面Eh=1.8m的A点处由静止滑下，然后在粗糙水平面上滑行一段距离后停止，如图所示，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，设水平面与物体间的动摩擦因数为μ=0.2．若选择水平面为零势能面，则：
2014年12月12日，印尼中爪哇省的班查内加拉县因为连日的暴雨引发泥石流灾害，造成了巨大损失．如图所示，可视为质点的一个石头从发生泥石流的高AB=5m、长AC=50m的山坡上由静止滚下，不考虑石头在整个滚动过程中摩擦阻力的影响，山坡| A． | 两个互成角度（不共线）的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动 | |
| B． | 匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动 | |
| C． | 牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律并测定了万有引力常量G | |
| D． | 地球绕太阳公转运动轨道半径R的三次方与其周期T的平方之比为常数，即$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=k，那么k的大小只与太阳的质量有关，与地球的质量无关 |
如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ，石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔．如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常 ”．为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G．则下列说法正确的是（ ）| A． | 有石油会导致P点重力加速度偏小 | |
| B． | 有石油会导致P点重力加速度偏大 | |
| C． | 在图中P点重力加速度反常值大于Q点重力加速度反常值 | |
| D． | Q点重力加速度反常值约为△g=$\frac{GρVd}{（{d}^{2}+{x}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$ |
如图所示，物块A静止在光滑水平面上，木板B和物块C一起以速度v0向右运动，与A发生弹性正碰，已知v0=5m/s，mA=6kg，mB=4kg，mC=2kg，C与B之间动摩擦因数μ=0.2，木板B足够长，取g=10m/s2，求：