Question

8．如图所示，虚线FG、MN、CD为在同一平面内的水平直线边界，在MN、CD间有垂直边界的匀强电场，场强的大小E=1.5×10⁵N/C，方向如图，在FG、MN间有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.2T，已知电场和磁场沿边界方向的长度均足够长，电场在垂直边界方向的宽度d₁=0.20m，在CD边界上某点O处有一放射源，沿纸面向电场中各个方向均匀地辐射出速率均为v₀=1.0×10⁶m/s的某种带正电粒子，粒子质量m=6.4×10^-27kg，电荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以无阻碍地通过边界MN进入磁场，不计粒子的重力及相互作用．
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）要使所有粒子不从FG边界射出，求磁场垂直边界MN方向上的最小宽度d；
（3）若磁场垂直边界MN方向上的宽度为0.2m，求边界FG上有粒子射出的长度范围及粒子首次在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）只要进入磁场的粒子电场力做功是一定的，由动能定理可以求出进入磁场的速率，由洛仑兹力提供向心力就能求出粒子在磁场做匀速圆周运动的半径．
（2）先由左手定则判断出粒子做顺时针匀速圆周运动，当从边界线最左边射入磁场的轨迹与上边界相切时，此种情况下磁场区域最宽，由此画出轨迹，由几何关系就能求出磁场区域的最小宽度．
（3）由于磁场的宽度与粒子的半径相等，所以在想象中拿一个定圆在宽度一定的磁场区域移动，这样可以找到打在磁场上边缘最左端的位置--即从最左端进入磁场的粒子打在最左端，最右的位置显然是竖直向上射出的粒子恰好与上边缘相切，由几何关系求出两点的距离即为所求；至于最长时间，显然偏转角最大的--即打在最左端的粒子恰好转过半周，所以最长时间是半个周期．

解答 解：（1）带电粒子从电场进入磁场，由动能定理有：
   $Eqd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
   进入磁场后，洛仑兹力提供向心力：
   $qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
   联立两式得：v=2×10⁶m/s，r=0.2m 
（2）在O点水平向左或向右方向射出的粒子做类平抛运动，其偏向角与水平方向
   夹角为θ，则：
   $tanθ=\frac{\sqrt{2\frac{Eq}{m}d}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2×\frac{1.5×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}{6.4×1{0}^{-27}}×0.2}}{1.0×1{0}^{6}}$=$\sqrt{3}$，
   所以θ=60°
      当从最左边射出的粒子进入磁场后是一个优弧，当该优弧与磁场上边界相切时，
   由几何关系有磁场宽度为d=L_min=r+rcos60°=0.2m+02．×0.5m=0.3m
（3）水平向左射出的粒子打在A点，水平位移：
    x=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2{d}_{1}}{\frac{Eq}{m}}}$=$1.0×1{0}^{5}×\sqrt{\frac{2×0.2×6.4×1{0}^{-27}}{1.5×1{0}^{5}×3.2×1{0}^{-19}}}m$=$\frac{0.4\sqrt{3}}{3}m$=0.23m
   从A点与水平方向成60°射出的粒子做匀速圆周运动打在上边边界的P点，由对称
  性，可知P点偏离O点的左边x=0.23m．Ⅲ
   显然从O点竖直向上射出的粒子划过四分之一圆弧打在Q点，该点是粒子打击的
   最右端．由几何关系可知Q点偏离O点的右边r=0.2m
   所以能够从FG边缘穿出的长度范围为x+r=0.43m
   显然竖直向上射出的粒子恰恰在磁场中转过半周，转180再回到MN，此种情况粒子在磁场中运动时间最长．
   ${t}_{max}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}×\frac{2×3.14×0.2}{2×1{0}^{6}}s$=3.14×10^-7s
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为0.2m．
（2）要使所有粒子不从FG边界射出，磁场垂直边界MN方向上的最小宽度d为0.3m．
（3）若磁场垂直边界MN方向上的宽度为0.2m，边界FG上有粒子射出的长度范围为0.43m、粒子首次在磁场中运动的最长时间为3.14×10^-7s．

点评 本题的第一问只是为后两问做一个铺垫，做每二问时要注意粒子的偏转方向，只有从最左端以一定角度射入磁场的粒子的轨迹恰与上边缘相切时，磁场宽度最小，由几何关系关系就能求出结果；第三问由于磁场宽度与粒子的半径相同，所以要找到粒子打在最左和最右的位置，再由几何关系求出长度，以上两问几乎是在做平面几何的数学题．