题目内容
4．
飞行时间质谱仪可以根据带电粒子的飞行时间对气体分子进行分析．如图所示，在真空状态下，自脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的方形区域，然后到达紧靠在其右侧的探测器．已知极板a、b间的电压为U0，间距为d，极板M、N的长度和间距均为L．不计离子重力及经过a板时的初速度．（1）若M、N板间无电场和磁场，请推导出离子从a板到探测器的飞行时间t与比荷k（k=$\frac{q}{m}$，q和m分别为离子的电荷量和质量）的关系式；
（2）若在M、N间只加上偏转电压U1，请论证说明不同正离子的轨迹是否重合；
（3）若在M、N间只加上垂直于纸面的匀强磁场．已知进入a、b间的正离子有一价和二价的两种，质量均为m，元电荷为e．要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，求所加磁场的磁感应强度的最大值Bm．
分析 （1）粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理可求得粒子的速度；再由运动的合成和分解可求得运动时间；
（2）带电离子在平行板M、N之间做类平抛运动，根据运动的合成和分解可明确轨迹的表达式，则可明确轨迹是否重合；
（3）当MN间的磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，根据圆周运动的知识和几何关系可求得磁感应强度的最大值．
解答 解：（1）带电离子在平行板a、b之间运动时，由动能定理得：qU0=$\frac{1}{2}$mv2-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，即：v=$\sqrt{2k{U}_{0}}$ …①
带电离子在平行板a、b之间的加速度为：
a1=$\frac{q{U}_{0}}{dm}$，即：a1=$\frac{k{U}_{0}}{d}$．
所以带电离子在平行板a、b之间的运动时间为：
t1=$\frac{v}{{a}_{1}}$$\frac{d\sqrt{2k{U}_{0}}}{k{U}_{0}}$；
带电离子在平行板M、N之间的运动时间为：
t2=$\frac{L}{v}$=$\frac{L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
所以带电离子从a板到探测器的飞行时间为：
t=t1+t2=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$．
（2）带电离子在平行板M、N之间水平位移为x时，在竖直方向位移为y，
水平方向满足：x=vt，
竖直方向满足：y=$\frac{1}{2}$a2t2，
加速度a2=$\frac{k{U}_{1}}{L}$，
联立解得：y=$\frac{{U}_{1}{x}^{2}}{4L{U}_{0}}$ …②
②式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的．
（3）当M、N间磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，满足：Bvq=$\frac{m{v}^{2}}{R}$…③
联立①③两式解得：带电离子的轨道半径为：R=$\sqrt{\frac{2{U}_{0}m}{{B}^{2}q}}$…④
上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出．
所以，要使所有的一价和二价正离子均能通过方形区从右侧飞出，只要二价正离子能从方形区飞出即可．
当二价正离子刚好能从方形区域飞出时的磁感应强度为满足题目条件的磁感应强度的最大值
设当离子刚好通过方形区从右侧飞出时的轨道半径为R，
由几何关系得，R2=L2+（R-$\frac{L}{2}$）2，
解得：R=$\frac{5L}{4}$…⑤
将二价正离子的电量2e代入⑦式得：R=$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{{B}^{2}e}}$…⑥
联立⑧⑨可解得：B=$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$，此值即为所求的磁感应强度的最大值Bm．
答：（1）离子从a板到探测器的飞行时间t=$\frac{2d+L}{\sqrt{2k{U}_{0}}}$；
（2）若在M、N间只加上偏转电压U1，正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的；
（3）要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，所加磁场的磁感应强度的最大值是$\frac{4}{5L}$$\sqrt{\frac{{U}_{0}m}{e}}$．
点评 本题考查了电荷的加速与电荷的偏转，关键将电荷的偏转进行分解，知道在水平方向和竖直方向上的运动规律，关键要把动能定理、类平抛运动规律、牛顿运动定律及其相关知识结合解答．
名校课堂系列答案
如图所示，椭圆的长轴和短轴与椭圆的交点上有四个电荷量相等电荷，其中三个正电荷、一个负电荷，O点为椭圆的中心，下列说法正确的是（ ）| A． | O点的场强方向水平向右 | |
| B． | 在短轴MN上，O点的电势最高 | |
| C． | 将一正的试探电荷由M点移动到O点，电场力做负功 | |
| D． | 将一负的试探电荷由O点移动到N点，试探电荷的电势能变大 |
| A． | 物体静止在水平桌面上，物体对桌面的压力就是物体受到的重力 | |
| B． | 形状规则的物体的重心一定在其几何中心上 | |
| C． | 重心一定在物体的几何中心，与物体内部的质量分布无关 | |
| D． | 用一竹竿拨动水中的木头，木头受到竹竿推力，是由于竹竿发生形变而产生的 |
| A． | M点的场强较N大 | |
| B． | M点电势较N低 | |
| C． | 正电荷从M点移至N点时，其电势能减少 | |
| D． | 要比较M、N哪一点电势高，与零电势的选择有关 |
如图所示，A、B两球质量分别为m、2m，用一细线相连，并由一弹簧悬挂于天花板上，若将A、B间细线烧断，则在烧断的瞬间A球的加速度大小为2g，方向竖直向上，B球的加速度大小为g，方向竖直向下．
如图所示，PQ、MN 是放置在水平面内的光滑导轨，GH 是长度为 L、电阻为 r 的导体棒，其中点与一端固定的轻弹簧连接，轻弹簧的劲度系数为k．导体棒处在方向向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．图中E是电动势为E，内阻不计的直流电源，电容器的电容为C．闭合开关，待电路稳定后，下列选项错误的是（ ）| A． | 导体棒中电流为$\frac{E}{{R}_{2}+r{+R}_{1}}$ | B． | 轻弹簧的长度增加$\frac{BLE}{k（r{+R}_{1}）}$ | ||
| C． | 轻弹簧的长度减少$\frac{BLE}{k（r{+R}_{1}）}$ | D． | 电容器带电量为$\frac{E}{r{+R}_{1}}$CR |
如图所示，宽d的有界匀强磁场的上下边界为MN、PQ，左右足够长，磁感应强度为B．一个质量为m，电荷为q的带电粒子（重力忽略不计），沿着与PQ成45°的速度v0射入该磁场．要使该粒子不能从上边界MN射出磁场，分别求出正、负粒子入射速度的最大值．
平行板电容器两板间距0.1m，板间电压103V，一个质量为0.2g带10-7C正电的小球用0.01m长的细线悬挂于板间O点，如图所示，将球拉到A使线水平拉直，然后放开，问：
如图所示，实线表示某电场的电场线，虚线表示等势线，A、B、C 是电场中的三点，下列关于电场强度E和电势ϕ；的大小关系正确的是（ ）| A． | EA＜EC | B． | EB＞EA | C． | φA＞ϕC | D． | ϕB＞φA |