Question

16．如图所示，宽d的有界匀强磁场的上下边界为MN、PQ，左右足够长，磁感应强度为B．一个质量为m，电荷为q的带电粒子（重力忽略不计），沿着与PQ成45°的速度v₀射入该磁场．要使该粒子不能从上边界MN射出磁场，分别求出正、负粒子入射速度的最大值．

Answer 1

分析 带电粒子射入磁场中由洛伦兹力充当向心力，做匀速圆周运动，其速度方向与PQ边界成45°角，不能从MN边界射出时，轨迹与MN相切，从PQ边界射出时速度方向与PQ边界成45°角，画子粒子的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径．根据牛顿第二定律求解粒子初速度v₀．

解答 解：（1）若粒子带正电，设轨道半径为R₁，轨迹如图所示．

根据图中几何关系可得：R₁+R₁cos45°=d，
解得：R₁=$（2-\sqrt{2}）d$；
又R₁=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
解得：v₀=$\frac{（2-\sqrt{2}）qBd}{m}$．　
（2）若粒子带负电，设轨道半径为R₂，如图乙所示．

则根据图中几何关系可得：R₂-R₂cos45°=d，
解得：R₂=$（2+\sqrt{2}）d$；
由于R₂=$\frac{m{v′}_{0}}{qB}$，
解得：$v{′}_{0}=\frac{（2+\sqrt{2}）qBd}{m}$．
答：要使该粒子不能从上边界MN射出磁场，正粒子入射速度的最大值为$\frac{（2-\sqrt{2}）qBd}{m}$，负粒子入射速度的最大值为$\frac{（2+\sqrt{2}）qBd}{m}$．

点评 本题是带电粒子在磁场中运动问题，因为初速度方向不确定，有两种情况，不能漏解．画出轨迹，运用几何知识求轨迹半径是解题的关键．